Если в полупроводнике нет примесей, так что N_A=N_D=0, где N_A и N_D - концентрации соответственно акцепторной и донорной примесей, то такой полупроводник называется собственным или чистым. В собственных полупроводниках концентрация электронов в зоне проводимости n_i равна концентрации дырок в валентной зоне p_i.

n_i=p_i                                                     (2.3.1)

Индексами «i» обозначают равновесные концентрации в собственных полупроводниках. Приравнивая правые части соотношений (2.2.4) и (2.2.5) получаем

,

,

откуда                   .                       (2.3.2)

Это соотношение определяет положение уровня Ферми в собственных полупроводниках. При абсолютном нуле Т=0:

                            ,                                     (2.3.3)

где Eg - ширина запрещенной зоны. Т.е. при Т=0 уровень Ферми располагается посередине запрещенной зоны.

С повышением температуры он смещается вверх к дну зоны проводимости, если m_p>m_n и вниз если m_p<m_n (рис. 2.4). Однако, в большинстве случаев это смещение настолько незначительно, что им можно пренебречь и считать, что уровень Ферми в собственных полупроводниках располагается по середине зоны.

Если подставить E_F из (2.3.3) в (2.2.4) и (2.2.5), то получим

                            .             (2.3.4)

Из (2.3.4) следует, что равновесная концентрация носителей заряда в собственном полупроводнике определяется шириной запрещенной зоны E_g. При чем зависимость n_i от T и E_g очень сильная.

Из (2.3.4) можно получить:

                            .                (2.3.5)

Правые части (2.3.5) и (2.2.6) равны , следовательно, равны и левые

                                     .                                             (2.3.6)

Это выражение также выражает закон действующих масс. Из (2.3.6) следует, что концентрация электронов и дырок в любом невырожденном полупроводнике таковы, что их произведение равно квадрату собственной концентрации электронов. Соотношение (2.3.6) справедливо при любой температуре

                                     .                                    (2.3.7)

Положение уровня Ферми и концентрация носителей

В примесных полупроводниках

Положение уровня Ферми в примесных полупроводниках в отличие от собственных существенным образом зависит от температуры.

Область нижних температур. При низких температурах энергия тепловых колебаний решетки значительно меньше ширины запрещенной зоны. Поэтому эти колебания не могут обеспечить переброс электронов из валентной зоны в зону проводимости. Однако, этой энергии оказывается достаточно для переброса электронов с донорных уровней в зону проводимости, а дырок с акцепторных уровней в валентную зону, т.к. для осуществления этих процессов нужна энергия на два порядка меньше, чем Eg. Следовательно, в области низких температур в примесных полупроводниках происходит возбуждение лишь “примесных” носителей заряда: электронов в электронных полупроводниках и дырок в дырочных полупроводниках.

Показано, что положение уровня Ферми в этой области температур определяется соотношением

                  ,                 (2.4.1)

для электронного полупроводника и соотношением

                  ,                (2.4.2)

для дырочного полупроводника.

N_D и N_A - концентрация соответственно донорной и акцепторной примесей.

На рисунках 2.5 а и b показано изменение положения уровня Ферми с повышением температуры в примесных полупроводниках n- и p-типа соответственно.

Подставляя в (2.2.4) и (2.2.5) полученные выражения для положения уровня Ферми в примесных полупроводниках соответственно получаем.

                            ,                     (2.4.3)

                            .                         (2.4.4)

Выражения (2.4.3) и (2.4.4) определяют концентрацию электронов в электронном полупроводнике и дырок в дырочном полупроводнике.

Область истощения примесей. С увеличением температуры концентрация электронов в зоне проводимости увеличивается, а концентрация электронов на донорных уровнях уменьшается, т.к. донорные уровни постепенно истощаются. Аналогично себя ведут и акцепторные уровни в дырочных полупроводниках.

При полном истощении примесей концентрация электронов в зоне проводимости у полупроводника n-типа становится практически равной концентрации донорной примеси N_D. Количеством электронов перешедших из валентной зоны при этих температурах можно пренебречь.

                                     .                                                (2.4.5)

Аналогично для дырок

               .                                               (2.4.6)

Температура, при которой происходит полное истощение примесей T_И тем выше, чем больше энергия ионизации примеси  и (Для Ge E_a=0,01 эВ, T_И»30K)

Область высоких температур. При дальнейшем повышении температуры начинается термическое возбуждение собственных носителей, в электронном полупроводнике все большее число электронов переходит из валентной зоны в зону проводимости. До тех пор пока концентрация собственных носителей (электронов пришедших в зону проводимости из валентной зоны) остается меньше N_D (n_i<<N_D), суммарная концентрация электронов в зоне проводимости сохраняется практически постоянной и раной N_D. Однако, с повышением температуры n_i - концентрация собственных носителей увеличивается и может не только достичь величины N_D, но и значительно превзойти ее. При этом полупроводник все более приближается к состоянию собственного полупроводника (n_i=p_i), вследствие чего уровень Ферми приближается к положению уровня Ферми в собственном полупроводнике. При n_i>>N_D n=n_i+N_D»n_i. Это соответствует переходу к собственной проводимости полупроводника. Температура, при которой осуществляется переход к собственной проводимости полупроводника Т_C тем выше, чем больше ширина запрещенной зоны полупроводника и концентрация примеси в нем.

При температуре T>T_C уровень Ферми в примесном полупроводнике совпадает с уровнем Ферми в собственном полупроводнике.

На рис. 2.6 показаны качественные кривые зависимости логарифма концентрации электронов в зоне проводимости в n-полупроводнике от обратной температуры при различных концентрациях примеси. На кривой можно выделить три участка: I-участок , соответствующий примесной проводимости полупроводника, II-участок, соответствующий области истощения примеси, III- участок собственной проводимости полупроводника. У полупроводников с высокой концентрацией примеси участок истощения примеси отсутствует (см. кривую N_D4).

Как уже отмечалось, в собственных полупроводниках проводимость осуществляется электронами зоны проводимости и дырками валентной зоны. В примесных же полупроводниках проводимость обусловлена в основном носителями одного типа: в n-полупроводниках - электронами зоны проводимости, т.к. их концентрация значительно превышает концентрацию дырок, а в р-полупроводниках дырками.

Рис. 2.5

Рис. 2.6

Электроны в n-полупроводнике и дырки в р-полупроводнике называют основными носителями заряда. Наряду с основными носителями в примесных полупроводниках содержатся неосновные носители заряда это дырки - в n-полупроводниках и электроны в р-полупроводнике.

Основные носители обозначают n_no, p_po и неосновные n_po, p_no. Таким образом в n-полупроводнике концентрация электронов n_no, а концентрация дырок p_no.

В том случае закон действующих масс можно записать в виде

                              для n-полупроводника,

                                                                                                       (2.4.7)

                              для р-полупроводника.

Из (2.4.7) следует, что легируя полупроводник примесью, мы повышаем концентрацию основных носителей, что приводит к понижению концентрации неосновных носителей, т.к. их произведение должно оставаться неизменным.