В механике изучается движение материальных тел под действием приложенных к ним сил, т.е. вызываемое этими силами изменение положения тел во времени. В общих чертах этот предмет знаком студентам, поскольку простейшие задачи механики рассматривались в курсах общей физики. Однако для решения сложных технических проблем таких сведений недостаточно - здесь требуются значительно более глубокие знания законов и методов механики. Именно поэтому введен настоящий курс, посвященный основам решения инженерных задач прикладного характера и тесно связанный с рядом других дисциплин учебного плана. Так, с одной стороны, теоретическая механика служит фундаментом для построения и изложения дисциплин механического цикла (сопротивление материалов, строительная механика корабля, теория механизмов и машин, гидромеханика и т.п.), с другой стороны - в ней широко используются методы, излагаемые в вузовском курсе математики (многие из них в свое время сформировались под влиянием запросов механики).

При рассмотрении материала сохраняются модели, введенные ранее в рамках классической механики. Кратко напомним их:

- пространство полагается трехмерным Евклидовым, его свойства в различных направлениях одинаковы;     

- время абсолютное, изменяется равномерно и одинаково в любых системах отсчета;

- тело, размеры которого не влияют на параметры его движения, моделируют материальной точкой, та же модель используется в случае, когда можно пренебречь его вращением;

- в случае, когда расстояния между точками тела неизменны, тело называется абсолютно твердым;

- в случае, когда деформация тела зависит от приложенных усилий, применяется модель, называемая пружиной;

- мера взаимодействия тел, в результате которого тела сообщают друг другу ускорения или деформируются, называется силой. Математической моделью силы является, в общем случае, связанный вектор;

- распределение силы характеризуется давлением. Очевидно, что размерность давления зависит от типа области, по которой сила распределена (по линии, по поверхности);

- тела и материальные точки, положение и скорость движения которых не ограничены другими телами, называются свободными; в противном случае они несвободные, а тела, ограничивающие их движение, называются связями;

 - выделенную для анализа совокупность взаимодействующих тел и материальных точек называют механической (реже - материальной) системой.

Используя те или иные модели, следует помнить о пределах их применимости, так как, забыв об этом, можно прийти к совершенно неверным выводам. Это происходит в случае, когда условия решаемой задачи уже не удовлетворяют сделанным предположениям

В настоящем курсе материал разделен на две крупные части – в первую включены статика и   кинематика, а во вторую -  динамика материальной точки, общие теоремы механики и динамика твердого тела (частично). 

1.2. Основные термины и аксиомы статики

В статике изучаются условия равновесия (покоя либо равномерного прямолинейного движения) твердого тела или механической системы, находящихся под действием сил, а так же эквивалентные преобразования совокупностей сил, приложенных к твердому телу. В частности, те же задачи ставятся и для материальной точки, - в этом случае они значительно более просты.

Ниже будут использоваться термины, выделенные курсивом:

Системой сил называют совокупность сил, действующих на рассматриваемый объект.

Если линии действия всех сил системы лежат в одной плоскости, систему сил называют плоской. Если эти линии пересекаются в одной точке – сходящейся, если они параллельны – параллельной. В общем случае система называется пространственной или произвольной.

Если состояние (покой или движение) свободного твердого тела сохраняется при замене действия одной системы сил на другую, то такие системы сил называются эквивалентными.

Система сил называется уравновешенной, если твердое тело, к которому она приложена, не изменяет своего состояния. 

Если система сил эквивалентна одной силе, то эта сила называется равнодействующей данной системы сил.

Силы, действующие на тело (или механическую систему), можно разделить на внешние и внутренние. Внешними называются силы, которые действуют на тело (или механическую систему) со стороны других тел, не принадлежащих рассматриваемой системе, а внутренними – силы, с которыми части данного тела (или механической системы) действуют друг на друга.

В задачах статики несвободных систем важно выделить силы, порождаемые связями. Эти силы называются реакциями связей. Все остальные силы называются активными или задаваемыми.

В аксиомах статики формулируются те простейшие и общие законы, которым подчиняются силы, действующие на одно и то же тело или приложенные к взаимодействующим телам.

Аксиома 1 : абсолютно твердое тело находится в равновесии под действием двух сил, если их модули равны, а сами силы направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны, т.е.   (см. рис.1).    

Аксиома 2 : состояние абсолютно твердого тела не изменится, если к системе сил, на него действующих, добавить (или убрать) уравновешенную систему сил.

Иными словами, две системы сил эквивалентны друг другу, если они отличаются на уравновешенную систему сил.

Следствие: состояние твердого тела не изменится, если перенести точку приложения силы вдоль линии ее действия.
 В самом деле, пусть на твердое тело действует приложенная в точке А сила    (см.рис.2).

Возьмем на линии действия этой силы точку В и приложим в ней две уравновешенные силы   и , направленные вдоль линии силы    и равные ей по модулю. Очевидно, что состояние твердого тела при этом останется прежним. Но силы  и   тоже образуют уравновешенную систему, которая может быть убрана без изменения состояния тела. В результате на тело будет действовать только одна сила , равная , но приложенная в точке В. Таким образом, вектор силы, приложенной к абсолютно твердому телу, можно переносить вдоль его линии действия без изменения состояния тела (такой вектор называется скользящим).

Полученный результат справедлив только для сил, действующих на абсолютно твердое тело. При инженерных расчетах им можно пользоваться лишь тогда, когда определяются условия равновесия той или иной механической системы и не рассматриваются возникающие в ее частях внутренние усилия и (или) деформации.

Например, изображенный на рис.3.а стержень АВ будет находиться в равновесии, если    . При переносе точек приложения обеих сил в какую-нибудь точку С стержня (рис.3.б) или при переносе точки приложения силы   в точку В, а силы    в точку А (рис.3.в), равновесие не нарушается.

Однако внутренние усилия будут в каждом из рассматриваемых случаев разными. В первом случае силы пытаются  стержень растянуть, во втором – он не напряжен, а в третьем - силы стержень сжимают. Следовательно, при определении внутренних усилий и (или) деформаций переносить точку приложения силы вдоль линии действия (иными словами, моделировать силу скользящим вектором) нельзя.

Аксиома 3 : две силы, приложенные к телу в одной точке, имеют равнодействующую, приложенную в той же точке и изображаемую диагональю параллелограмма, построенного на этих силах, как на сторонах (см. рис.4).

Здесь                               (1)

Сформулированная аксиома подтверждает справедливость использования для силы математической модели в виде вектора.

Аксиома 4 : при всяком действии одного тела на другое силы их взаимодействия равны по модулю, имеют общую линию действия и направлены в противоположные стороны (эта аксиома известна читателю как третий закон Ньютона).

Заметим, что эти силы приложены к разным телам и, поэтому, не образуют уравновешенную систему сил.

Свойство внутренних сил: в соответствии с четвертой аксиомой при силовом взаимодействии две любые части механической системы (твердого тела) действуют друг на друга с равными по модулю и противоположно направленными силами. При изучении условий равновесия механическая система (твердое тело)   рассматривается как единое целое; в этом случае  внутренние силы образуют уравновешенную систему сил и могут быть исключены из рассмотрения. Следовательно, при изучении условий равновесия механической системы (тела) необходимо учитывать только внешние силы, на неё (него) действующие.     

В дальнейшем, говоря о действующих силах, мы будем подразумевать, если не сделано специальной оговорки, что речь идет только о внешних силах.

Аксиома 5 : равновесие изменяемого (деформируемого) тела или механической системы, находящихся под действием сил, не нарушится, если их считать отвердевшими (абсолютно твердыми).

Например, для равновесия тяжелой гибкой нити (трос, цепь) под действием двух сил, приложенных к ее концам, необходимы те же условия, что и для жесткого криволинейного стержня. Но эти условия не будут достаточными, так как для равновесия нити требуется, что бы приложенные силы были растягивающими. Сформулированная аксиома в некоторых источниках носит название принцип отвердевания.