Метод Эйлера с пересчётом (модифицированный метод)
В этом методе значение берётся как среднее между значением в начале отрезка и прогнозируемым значением в конце его, т.е. на каждом отрезке
прогнозируется значение
в конце отрезка:
– прогноз (предиктор). Тогда:
В результате может быть построена зависимость с более близкими значениями к точной зависимости , чем в явном или неявном методе.
Метод Рунге-Кутта
Идея замены средним значением получила распространение в методе Рунге-Кутта. В этом случае берётся среднее от шести значений
. При этом:
, где:
Метод имеет точность в отличие от метода Эйлера -
.
9.Проекционный метод решения м.у. (метод Галеркина).
Решение в методе Галёркина ищется в виде линейной комбинации базисных функций , где
– линейно независимая функция, обладающая свойством полноты и удовлетворяющие следующим граничным условиям:
При этом за выполнение граничных условий для искомой функции y(x) отвечает функция
. Как правило, функции
выбирают в виде
или
Далее расчёт строится таким образом, чтобы найти наилучшие значения коэффициентов
. Если в исходное дифференциальное уравнение подставить функцию в виде представленного разложения, то левые и правые части не совпадут друг с другом. Разница между левой и правой частью образует функцию, которую называют невязкой:
В методе Галёркина коэффициенты определяются на основе n уравнений
Интеграл трактуется как проекция невязки на базисные функции, а сами уравнений, определяющие n коэффициенты трактуются как условия ортогональности невязки к первым n функциям базиса.
Метод конечных элементов.
В основе метода лежит представление искомой функции y(x) по базисным функциям со следующими особенностями этих базисных функций:
1. – линейная функция на каждом отрезке
¶
2. и
j≠i (Рис.19)
Исходя из свойств базисной функции, заключаем, что – из граничных условий
Таким образом, расчет коэффициентов дает набор значений функции y(x) в дискретном наборе значений x (
) (На рисунке эти значения обозначены жирным точками). С одной стороны метод имеет сходство с проекционным методом (методом Галёркина) – используется разложение по базисным функциям. С другой стороны в результате расчет получается набор дискретных значений
– как в методах Эйлера и Рунге-Кутта. Как и в методе Галеркина,
находится минимизацией невязки:
;
Для всех
с i=1,…,n-1 (Напомним что
)
Для использования в расчетах проинтегрируем выражение со второй производной. Интегрируем по частям.
Таким образом, условия невязки можно представить в виде
В этом случае рассматриваемая двухмерная поверхность разбивается с помощью сетки на треугольники (триагуляция). К вершинам сетки привязаны базисные функции со следующими свойствами:
,
– вершина «шатра» ¶
для остальных вершин ¶
линейная функция по “x” и “y”
(Рис. 20)
![]() | ![]() |
Дата: 2019-03-05, просмотров: 214.