Явный метод Эйлера:

На малом отрезке  представим производную в виде конечно-разностного отношения. Тогда

; Данное соотношение позволяет выразить значение y в конце отрезка  через значение в начале отрезка. В частности,  и т.д. (Рис.16)

Основной вопрос, который возникает при построении приближенного решения следующий: будет ли приближенная зависимость стремиться к точной, если . Исследуем данный вопрос на частном примере – расчёте переходной характеристики RC-цепи. (Рис.17)  разряжен ¶

Явный метод Эйлера: (Рис. 18)

Кстати, рассчитав отдельные дискретные значения, можно построить непрерывную интерполяционную зависимость. Выясним вопрос об устойчивости метода, а именно: если начальное условие будет , то будет ли при этом выполняться неравенство  – конечное число при любом . Выбор погрешности  при  в начальный момент совсем необязателен (не имеет принципиального значения для последующих рассуждений).  может быть например, погрешностью округления до какого-то знака какого-то промежуточного значения . Введём для удобства новые параметры:  В данных обозначениях соседние значения искомой функции связаны множителем , поэтому продолжив равенство, получим окончательно . Сравним значения с  и : . Если , то  

Из проведенного анализа следует, что от выбранного шага разбиения времени на интервалы  будет зависеть сходимость приближённого решения к асимптотическому значению : если , построенное по методу Эйлера решение не только не стремится к значению , а вообще не стремится к какому-то конечному значению (верхняя зависимость на рисунке). Асимптотическое приближение к  будет только при выборе . В этом случае говорят, что метод неустойчив при  и устойчив при . Накапливающаяся ошибка при большом шаге разбиения связана с тем, что производная на этом шаге существенно меняется и замена её конечно-разностным отношением недопустима.

Неявный метод Эйлера

В данном случае производная по-прежнему аппроксимируется конечно-разностным отношением, однако  берется не в начале, а в конце интервала разбиения, т.е. . Поскольку  содержится в обеих частях уравнения, то чтобы его найти, нужно решить данное уравнение. Иными словами  связан с  неявно. Проведём исследование устойчивости данного метода также на примере RC-цепи.

 – метод устойчив при любом

Таким образом, неявный метод более устойчив по сравнению с явным. Причем данное свойство присуще не только конкретному примеру, но и наиболее общему случаю (произвольные функции ).

Рис. 16

Рис. 17

Рис.18