Нехай рівняння (6) алгебраїчне, тобто  – многочлен. Розглянемо метод Берстоу для виділення квадратичного множника  алгебраїчного многочлена , причому корені многочлена  обов’язково мають бути різні. Розділивши  на , можемо записати

Очевидно, якщо – дільник , то

і, таким чином, задача зводиться до розв’язання системи (10). Ця система розв’язується методом Ньютона, а використовувані в цьому методі значення функцій , , і їх похідних , , , знаходяться таким чином. Поділимо на тоді

,

Продиференціюємо останню тотожність по  і по  отримаємо рівність:

,

.             

Нехай ( ) - корені дільника , тобто причому . Підставляючи  в рівності (11) і враховуючи, що , матимемо

.

Звідси, оскільки , отримаємо

,    ,

,                   .

Таким чином, ми виразили похідні функцій і по і  через , , , . Тому, знаючи  і виконавши двічі ділення на  спочатку многочлена , а потім частки , ми знайдемо , , , . Після цього за формулами (12) обчислюємо , , , , і, застосовуючи метод Ньютона для системи (10), знаходимо та , потім ,  та . Далі, увесь процес повторюємо спочатку.

При вдалому виборі початкового наближення метод, очевидно, збігається.

Для побудови початкового наближення  що відповідає дійсним кореням, можна знайти графічно або за допомогою теореми про нуль неперервної на відрізку функції початкові наближення к двом різним дійсним кореням  і  функції , тоді

, тобто , а . Іноді початкові наближення вдається знайти за допомогою теореми Вієта.

ПРИКЛАД 22. Знайти з точністю до  методом Берстоу квадратичний множник многочлена  і обчислити його корені.

Груба прикидка показує, що рівняння має два дійсні корені ( ; рис. 5), щоб відокремити їх, визначимо знак функції при деяких значеннях :

Рисунок 5 – Графіки функцій .

Візьмемо . Тоді ; тобто , . Ділимо, далі, і на

тобто

; ; ; .

Отже, ; ;

;

і система для поправок ℎ і  має вигляд

Звідси ; . Далі, ;

; .

На другому кроці отримуємо

; ; ; ;

; ;

; ;

; ; ;

.

На третьому кроці

; ; ; ;

; ; ; .

Оскільки з точністю до і , а також і  співпадають, то . Проте, при обчисленні коренів візьмемо  (із запасними знаками):

А оскільки

то інші два корені заданого рівняння .

При розв’язанні алгебраїчних рівнянь слід враховувати, що значення многочлена швидко ростуть зі збільшенням  і тому можливе переповнення. Для зменшення похибки округлення при розв’язанні методом Берстоу алгебраїчного рівняння високого степеня починати слід з найменших по модулю коренів, а потім знайдені корені видаляють і процедуру повторюють.

Задачі

Методом Берстоу з точністю до 0,01 знайти дійсні корені алгебраїчних рівнянь:

58. .

59. .

60. .

61. .

62. .

63. .

64. .

65. .

66. .

67. .