Побудуємо ітераційний процес для обчислення значень функції , яка задана неявно, тобто за допомогою рівняння
.
Нехай - наближене значення функції
у деякій точці
. Тоді
де – деяке проміжне значення між
. І отже,
Замінюючи в останній формулі невідоме значення на відоме
, отримуємо формулу для уточненого значення функції
в точці
:
(5)
Якщо похідні і
існують і зберігають постійні знаки в інтервалі, що містить шукане значення, то ітераційний процес при досить хорошому початковому наближенні збігається до
. Початкове значення
вибирають, по можливості, близьким до істинного значення
. Процес ітерації продовжують до тих пір, поки в межах заданої точності два послідовні наближення
та
не співпадуть між собою. Після цього вважають
, при цьому, звичайно, не гарантується що
, для цього потрібне додаткове дослідження.
ПРИКЛАД 12. Обчислення квадратного кореня.
Нехай ,
. Тоді
і формула
має вигляд
Це відома формула Герона. Ітераційний процес за формулою Герона легко програмується на ЕОМ, причому процес збігається при будь-якому виборі .
Обчислимо за цією формулою з точністю до
:
;
;
Отже, .
ПРИКЛАД 13. Обчислення кубічного кореня . Застосовуючи формулу (5) до функції
, отримуємо ітераційну формулу для обчислення кубічного кореня
Використаємо її для обчислення
;
Отже,
Задачі
1. Узагальнити схему Горнера для ділення многочлена на квадратичний множник
.
2. Обчислити з точністю до значення многочлена
при
3. Обчислити з точністю до значення многочлена
при
4. Обчислити з точністю до
5. Обчислити з точністю до при
.
6. Обчислити з точністю до
при
=0,4.
7. Вивести ітераційну формулу для обчислення оберненої величини квадратного кореня.
8. Обчислити з точністю до
.
9. Обчислити з точністю до
.
10. Скласти таблицю значень функції для
з точністю до
.
11. Обчислити з точністю до
.
ЧИСЕЛЬНЕ РОЗВ’ЯЗАННЯ АЛГЕБРАЇЧНИХ ТА ТРАНСЦЕНДЕНТНИХ РІВНЯНЬ
Етап відділення коренів
Наближене знаходження коренів рівняння
(6)
проводиться в два етапи: спочатку корені відділяються, тобто знаходяться відрізки заданої довжини, що містять лише один корінь рівняння, а потім початкові наближення коренів (будь-які значення із заданих відрізків) уточнюються тим чи іншим способом, поки не буде виконано нерівність
, де
- корінь,
-
-е наближення до кореня,
задана точність.
Нехай функція в рівнянні (6) неперервна в заданому інтервалі, і нехай рівняння (6) має лише ізольовані корені, та вимагається відокремити ці корені.
Аналітичний метод відділення коренів грунтується на наступній теоремі з аналізу:
Якщо неперервна на відрізку функція
набуває значень різних знаків на кінцях відрізку, тобто
, то усередині цього відрізку міститься принаймні один корінь рівняння (6), тобто існує хоч би одне
, таке що
.
Для знаходження такого відрізку часто доводиться визначати знак функції в досить великому числі точок.
Зручнішим, як правило, виявляється графічний метод відділення коренів. Корені рівняння (6) є абсцисами точок перетину графіку функції з віссю абсцис. Проте, часто буває вигідніше подати рівняння (6) у вигляді
( та
простіші, ніж
) і знайти абсциси точок перетину кривих
та
. Краще вказати відрізки, які містять абсциси точок перетину цих кривих.
Практично надійніше поєднувати ці два методи. Спочатку зробити графічний рисунок, що показує розташування і число дійсних коренів, потім перевірити аналітичним методом, чи дійсно отримані з графіку відрізки містять корені цього рівняння. Річ у тому, що будувати графік з великою точністю недоцільно, а при малій точності графіку можливі помилки.
ПРИКЛАД 14. Відокремити корені рівняння
так, щоб довжина відрізку , що містить корінь, не перев ищувала
; тобто
та
.
Рисунок 1 - Графіки функцій ;
Зводимо рівняння до вигляду :
і будуємо графіки функцій
;
. На рис. 1 показано, що це рівняння має три дійсні корені, приблизно
;
;
; причом
;
;
.
Дійсно,
;
ПРИКЛАД 15. Відокремити корені рівняння
так, щоб та
Побудувавши графіки функцій та
(рис. 2), бачимо, що рівняння має два корені
и
. Оскільки
;
та
, то
;
.
Рисунок 2 - Графіки функцій та
Помітимо, що в цьому прикладі в силу парності можна було обмежитися розглядом
.
Існує ще один аналітичний метод відділення коренів. Він полягає в наступному. Для даного рівняння знаходиться простіше рівняння, яке має корені, що приблизно дорівнюють кореням початкового рівняння. Корені цього рівняння і будуть початковими наближеннями для коренів даного рівняння. Наприклад, нехай вимагається відокремити позитивний корінь рівняння
Можна помітити, що позитивний корінь цього рівняння близький до . Очевидно,
. Оскільки для
виконується нерівність
, то, замінюючи спочатку
нулем, а потім - одиницею, отримуємо рівняння
і
, між коренями яких розташований позитивний корінь цього рівняння, тобто
.
При відділенні коренів корисно враховувати різні особливості функції . Так, наприклад, очевидно, що алгебраїчне рівняння з позитивними коефіцієнтами не може мати позитивних коренів; корінь рівняння (6) в інтервалі
буде єдиним, якщо похідна
зберігає постійний знак на
та ін.
Задачі
Відокремити корені наведених нижче рівнянь так, щоб довжина відрізку, що містить корінь, не перевищувала .
24. .
25. .
26. .
27.
28. .
29. .
30. .
31. .
32. .
33. .
34. .
35. .
36. .
37. .
38. .
39. .
40. .
41. .
42. .
43. .
44. .
45. .
Дата: 2019-03-05, просмотров: 265.