Інтегральне перетворення Лапласа

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Розглянемо функцію дійсної змінної , яка відповідає таким умовам:

1. При .

2. При функція на будь-якому скінченному проміжку вісі має не більше ніж скінченну кількість точок розриву першого роду.

3. При функція має обмежену степінь зростання, тобто існують такі додатні константи та , що для всіх

Інтегральне перетворення Лапласа ставить у відповідність такій функції

функцію комплексної змінної за допомогою співвідношення

Функція називається зображенням Лапласа функції , а функція – оригіналом функції . Зв’язок між функціями та будемо символічно позначати таким чином:

Основні властивості інтегрального перетворення Лапласа.

1. Лінійність зображення .

2. Теорема подібності .

3. Диференціювання оригіналу ;

4. Диференціювання зображення .

5. Інтегрування оригіналу

6. Інтегрування зображення .

7. Теорема спізнення .

8. Теорема зміщення

9. Теорема множення (теорема Бореля) .

Зображення Лапласа деяких функцій

Перетворення Лапласа застосовується для функцій, які при від’ємному значенні аргумента дорівнюють нулю. Такі функції можуть бути записані у вигляді , де – функція Хевісайда, а – деяка функція. У подальшому будемо у більшості випадків випускати множник , маючи на увазі його наявність.

Наведемо зображення Лапласа функцій, які найчастіше зустрічаються при розв’язуванні нескладних задач.

; ;

; .

Існують спеціальні таблиці зображень елементарних та спеціальних функцій, які наведені у посібниках з інтегральних перетворень та довідниках .

Якщо функція є кусочно неперервною, наприклад, має вигляд , її можна записати за допомогою функції Хевісайда у вигляді , або . Тоді відповідне зображення має вигляд . Зокрема, зображенням функції буде .

Визначення оригіналу за відомим зображенням

Якщо відомо, що задана функція в області є зображенням кусочно гладкої функції , степінь зростання якої не перевищує , то

, .

Наведена рівність називається формулою Мелліна.

Якщо функція є правильним раціональним дробом, то її оригінал можна побудувати за формулою

Зокрема, якщо всі полюси функції є простими, то

причому, якщо серед полюсів є комплексно спряжені, то формула набуває вигляду

де – дійсні полюси, а – комплексні полюси з додатною уявною частиною.

Дуже важливим з практичної точки зору є також відшукування оригіналу методом підбору: записують зображення у вигляді суми функцій, оригінали яких відомі, та представляють шуканий оригінал як суму цих оригіналів.

КОНТРОЛЬНА РОБОТА № 7

Тема 1. Теорія функцій комплексної змінної

Література : [1], гл. I-VII; [2], гл. 1, § 1-6, гл. 2, гл. 4,гл. 5, § 1; [3], гл. I;

[6], гл. 11, § 1, 2, 4, гл. 12, § 1, 3, 5, 6.

При вивченні матеріалу цієї теми студент повинен усвідомити основні поняття теорії функції комплексної змінної , навчитися обчислювати значення елементарних функцій, інтегралів вздовж замкненого контуру, будувати розвинення функцій в ряд Лорана та обчислювати лишки.

Розглянемо приклади.

Приклад 1. Побудувати на комплексній площині числа , .

Розв’язок. Числу на координатній площині відповідає точка з координатами , а числу – точка .

Приклад 2. Виконати арифметичні дії з комплексними числами , .

Розв’язок. ;

;

Приклад 3. Записати комплексні числа у показниковій та тригонометричній формах.

а) .

Розв’язок. Обчислимо модуль та головне значення аргумента комплексного числа.

, .

;

, або

Тоді – тригонометрична форма,

та – показникова форма.

б) .

Розв’язок. , ;

;

, або

Тоді – тригонометрична форма,

та – показникова форма.

Приклад 4. Зобразити геометричне місце точок, які задовольняють умові

Розв’язок.

Це рівняння кола з центром у точці , яка відповідає комплексному числу . Радіус кола дорівнює .

Приклад 5. Обчислити значення функцій комплексної змінної.

а) .

Розв’язок. Обчислимо модуль та головне значення аргументу комплексного числа.

, ; ;

Тоді . За правилом обчислення кореня з комплексного числа маємо

б) .

Розв’язок. , ; ;

в) .

Розв’язок.

1 спосіб. Значення синуса комплексного аргумента можна обчислити з використанням зв’язку цієї тригонометричної та показникової функції.

;

2 спосіб. Для тригонометричних функцій комплексної змінної є вірними всі властивості функцій дійсної змінної.

г) .

Розв’язок.

1 спосіб.

2 спосіб.

д) .

Розв’язок. .

, , , ;

;

е) .

Розв’язок. , , , ; ;

Приклад 6. З’ясувати, чи є функція аналітичною.

Розв’язок. .

Отже, ; .

Обчислимо частинні похідні цих функцій.

; ;

; .

Умови Коші – Рімана , виконуються для будь-яких дійсних х та у , отже, функція є аналітичною на всій комплексній площині.

Приклад 7. Обчислити інтеграли по замкнутому контуру.

а) .

Розв’язок. Функція аналітична на всій комплексній площині, крім точки .

Побудуємо контур інтегрування – коло .

Точка розташована поза колом , тому

б) .

Розв’язок. Функція аналітична на всій комплексній площині, крім точки .

Побудуємо контур інтегрування – коло . Точка – внутрішня точка цього кола, функція аналітична, тому за інтегральною формулою Коші

(або ) отримаємо

в) .

Розв’язок. Функція аналітична на всій комплексній площині, крім точок, в яких справджується рівність , тобто крім точок та .

Побудуємо контур інтегрування – лінію . Це коло з центром в точці та радіусом .

Точка – внутрішня точка цього кола, точка лежить поза колом. Тоді підінтегральну функцію можна записати у вигляді , де – функція, аналітична у всіх точках області, обмеженої контуром інтегрування. Тоді згідно з інтегральною формулою Коші

г) .

Побудуємо контур інтегрування – лінію . Це коло з центром у початку координат та радіусом . Точка – внутрішня точка цього кола, точка лежить поза колом. Тоді підінтегральну функцію можна записати у вигляді , де – функція, аналітична у всіх точках області, обмеженої контуром інтегрування. Згідно з інтегральною формулою Коші

д)

Побудуємо контур інтегрування – лінію . Це коло з центром у точці та радіусом . Точка – внутрішня точка цього кола, точка лежить поза колом. Тоді підінтегральну функцію можна записати у вигляді , де – функція, аналітична у всіх точках області, обмеженої контуром інтегрування.

Для обчислення інтеграла від цієї функції можна застосувати інтегральну формулу типу Коші

Для отримаємо .

Тоді , , та

Приклад 8. Знайти круг збіжності степеневого ряду та побудувати його на комплексній площині. Якщо є можливість, дослідити поведінку ряду на межі кругу.

а)

Розв’язок. ; .

Обчислимо радіус збіжності :

Ряд абсолютно збігається для всіх , які задовольняють умові . З’ясуємо поведінку ряду у точках, для яких :

Цей ряд абсолютно збігається, отже, степеневий ряд є абсолютно збіжним для всіх чисел, для яких . Цій умові відповідає круг з центром у початку координат та радіусом . Граничні точки також входять до області збіжності ряду.

б) .

Розв’язок. .

Обчислимо радіус збіжності :

Таким чином, ряд абсолютно збігається для всіх , які задовольняють умові , тобто у внутрішніх точках кругу з центром у точці та радіусом .

Дослідимо поведінку ряду на межі цього кругу, тобто при :

Цей ряд згідно з необхідною умовою збіжності розбігається ( ), отже, на колі степеневий ряд є розбіжним.

в)

Розв’язок. Це ряд з пропуском степенів, отже, для його дослідження доцільно скористатися ознакою Даламбера або Коші.

Оберемо ознаку Даламбера:

; ;

Дослідимо поведінку ряду на межі цього кругу, тобто для , які задовольняють умові :

Цей числовий ряд з додатними членами збігається, отже, степеневий ряд на колі є абсолютно збіжним.

Приклад 9. Знайти лишки функції у всіх її скінченних особливих точках.

а) .

Розв’язок. Особливі точки функції відповідають умові

; , – полюси 1-го порядку.

Лишки у полюсах 1-го порядку обчислюються за формулою

тобто

;

б) .

Розв’язок. ; – полюси 1-го порядку.

Лишки у таких точках можна також обчислити за формулою

де – аналітична функція, .

Тоді

;

в) .

Розв’язок. – полюс 3-го порядку.

Лишок у цій точці обчислюється за формулою

, або для

Тоді ;

; ,

отже, .

б) .

Розв’язок. Особлива точка . Для обчислення лишка у цій точці побудуємо розвинення функції у відповідний ряд Лорана. Для цього скористаємося відомим розвиненням показникової функції у степеневий ряд

Тоді

Згідно з означенням лишка, .

Тема 2 . Інтегральні перетворення

Література : [2], гл. 8; [3], гл. VI; [4], гл. XIX; [6], гл. 13.

При розгляді цієї теми студент повинен навчитися будувати зображення Лапласа функцій з використанням властивостей перетворення Лапласа та таблиці зображень, оволодіти найпростішими методами відновлення оригіналу за відомим зображенням та навчитися розв’язувати диференціальні рівняння методами операційного числення.

Розглянемо деякі приклади.

Приклад 1. Знайти зображення Лапласа заданих функцій.

а) .

Розв’язок. Розглядувана функція є лінійною комбінацією функцій, зображення яких відомі:

; .

Тоді

б) .

Розв’язок.

1 спосіб. Зображення Лапласа функції відомо:

За теоремою про диференціювання зображення

;

Остаточно .

2 спосіб. Зображення Лапласа функції відомо:

Скористаємося теоремою про диференціювання зображення:

За теоремою зміщення отримаємо:

в) .

Розв’язок. Запишемо розглядувану функцію за допомогою функції Хевісайда:

Зображення функції відомо:

Згідно з теоремою спізнення маємо:

Остаточно .

Приклад 2. Знайти оригінал за заданим зображенням.

а) .

Розв’язок. Розглядувану функцію дуже легко записати як лінійну комбінацію табличних:

;

; ; .

Тоді .

б) .

Розв’язок.

1 спосіб. Запишемо задане зображення у вигляді, який дозволяє використати таблицю оригіналів.

Отже, .

Тоді шуканим оригіналом є функція .

2 спосіб. Функція є правильним дробом. Особливі точки цієї функції задаються умовою . Цій рівності відповідають числа та , які є комплексно спряженими полюсами 1-го порядку.