МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНА МЕТАЛУРГІЙНА АКАДЕМІЯ УКРАЇНИ

РОБОЧА ПРОГРАМА,

Методичні вказівки та індивідуальні завдання

До вивчення дисципліни «Вища математика»

( розділ « Функції комплексної змінної та інтегральні

перетворення») для студентів напряму 6.050202 –

автоматизація та комп’ютерно-інтегровані

Технології

Дніпропетровськ НМетАУ 2010

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНА МЕТАЛУРГІЙНА АКАДЕМІЯ УКРАЇНИ

РОБОЧА ПРОГРАМА,

Методичні вказівки та індивідуальні завдання

До вивчення дисципліни «Вища математика»

( розділ « Функції комплексної змінної та інтегральні

перетворення») для студентів напряму 6.050202 –

автоматизація та комп’ютерно-інтегровані

Технології

ЗАТВЕРДЖЕНО

на засіданні Вченої ради

Академії

Протокол № 10 від 18.12.09

Дніпропетровськ НМетАУ 2010

УДК 517(07)

Робоча програма, методичні вказівки та індивідуальні завдання до вивчення

дисципліни «Вища математика» (розділ «Функції комплексної змінної та інтегральні перетворення») для студентів напряму 6.050202- автоматизація та комп’ютерно-інтегровані технології / Укл.: О.Є. Запорожченко, І.Б. Кочеткова, Л.Ф. Сушко, М.С. Сазонова . – Дніпропетровськ: НМетАУ, 2010. – 40 с.

Наведені рекомендації до вивчення дисципліни «Вища математика» (розділ «Функції комплексної змінної та інтегральні перетворення»); необхідний обсяг знань та умінь студентів у результаті її вивчення;література, що рекомендується; довідковий матеріал; методичні вказівки до вивчення кожної теми; варіанти індивідуальних завдань.

Призначена для студентів напряму 6.050202- автоматизація та комп’ютерно-інтегровані технології заочної

форми навчання.

Укладачі: О.Є. Запорожченко, канд. фіз.-мат. наук, доц.

І.Б. Кочеткова, асист.

Л.Ф. Сушко, асист.

М.С. Сазонова, канд. фіз.-мат. наук, доц.

Відповідальний за випуск А.В. Павленко, д-р фіз.-мат. наук, проф.

Рецензент Г.Г. Швачич, канд. техн. наук, проф.(НМетАУ)

ЗАГАЛЬНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ СТУДЕНТАМ ЗАОЧНОЇ

Програма дисципліни «Вища математика»

(4 семестр)

ТЕОРІЯ ФУНКЦІЙ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМІННОЇ

1. Комплексні числа та дії над ними.

2. Функції комплексної змінної. Границя та неперервність функцій комплексної змінної. Елементарні функції.

3. Диференційовність функції комплексної змінної. Умови Коші-Рімана. Аналітичні функції.

4. Інтегрування комплексних функцій. Теорема Коші. Інтегральна формула Коші.

5. Ряди з комплексними членами. Степеневі ряди. Круг збіжності.

6. Розвинення функцій в ряд Лорана. Ізольовані особливі точки. Лишки та їх застосування.

ІНТЕГРАЛЬНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ

1. Знаходження зображень функцій. Зображення похідних.

2. Розшукування оригінала за зображенням.

3. Застосування операційного числення до розв’язування диференціальних рівнянь.

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

1. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1977. – 444 с.

2. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной. – М.: Наука, 1974. – 320 с.

3. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1987. – 688 с.

4.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т.2. – М.: Наука, 1985. – 560 с.

5. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.2. – М.: Наука, 2000. – 416 с.

6. Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы математического анализа / Под ред. А.В.Ефимова, Б.П. Демидовича. – М.: Наука, 1985. – 368 с.

7. Е.С. Синайский, Л.В. Новикова, Л.И. Заславская. Высшая математика: Навч. посібник. – Дніпропетровськ: Національний гірничий університет, 2006. –

Ч.ІІ. – 452 с.

8. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. – М.: Наука, 1984. – 832 с.

9. Справочник по специальным функциям. – М. : Наука, 1979. – 832 с.

ДОВІДКОВИЙ МАТЕРІАЛ

Функції комплексної змінної

Якщо задано закон , згідно з яким кожному значенню , яке належить множині , відповідає певне значення , то кажуть, що задана однозначна функція , яка визначена на та набуває значень в . Якщо значенню відповідає декілька значень , то функція є багатозначною.

Функцію комплексної змінної можна записати у вигляді

де та – функції дійсних змінних та .

Існування границі функції комплексної змінної еквівалентне одночасному існуванню границь дійсної та уявної частин та . Аналогічно неперервність функції у точці еквівалентна неперервності функцій та у точці .

Функція, неперервна у кожній точці області , називається неперервною у цій області.

Елементарні функції комплексної змінної. Введемо показникову функцію комплексної змінної за правилом

Тригонометричні та гіперболічні функції зв’язані з показниковою співвідношеннями

; ; ; ;

. ; .

Функції, які введені за цими формулами, по-перше, для дійсних значень аргумента співпадають з відповідними функціями дійсної змінної, та, по-друге, зберігають всі властивості функцій дійсної змінної.

Також є очевидними властивості

; ; ; .

Функції , , , визначають як обернені до функцій , , , відповідно. Зокрема,

, ,

а головне значення логарифмічної функції визначається як

(величина є функцією дійсного аргументу).

Особливі точки. Лишки

Функція , аналітична у внутрішніх точках круга , може бути представлена у цьому крузі збіжним степеневим рядом , який називається рядом Тейлора.

Для елементарних функцій комплексної змінної зберігаються розвинення у ряди Тейлора та Маклорена, отримані для функцій дійсної змінної:

, ;

, тощо.

Якщо функція є аналітичною у кільці , то вона може бути представлена у точках цього кільця своїм рядом Лорана

де , , інтегрування виконується вздовж кола , .

Радіуси та зв’язані з коефіцієнтами Лорана співвідношеннями

та .

Точка називається ізольованою особливою точкою функції , якщо не визначена, та існує окіл , в якому функція є аналітичною. Особлива точка називається

– усувною, якщо існує скінчений ;

– полюсом, якщо ;

– істотно особливою точкою, якщо не існує.

Число називається порядком нуля функції в точці , якщо функція аналітична в точці , , та . Якщо точка є нулем порядку для функції , то вона є полюсом порядку для функції . Зокрема, число є полюсом порядку для функції , якщо .

Якщо особлива точка є усувною, всі коефіцієнти головної частини відповідного ряду Лорана дорівнюють нулю, у випадку полюса порядку мають місце умови , , нарешті, для істотно особливої точки існує нескінченна множина відмінних від нуля коефіцієнтів головної частини ряду Лорана.

Лишком функції відносно скінченої точки називається величина

де – будь-яке додатно орієнтоване коло , яке лежить в кільці збіжності ряду Лорана.

Якщо точка є точкою аналітичності функції або її усувною особливою точкою, то .

Лишок в простому полюсі обчислюють за формулами

або

, де , причому .

Якщо – кратний полюс порядку , то

Для обчислення лишків в істотно особливих точках знаходять коефіцієнт ряду Лорана інтегруванням або за допомогою відомих розвинень функцій у степеневі ряди.

Основна теорема про лишки. Якщо функція є аналітичною у замкненій області за винятком скінченої кількості особливих точок , ,… , які лежать усередині , то

Операційне числення

Операційний метод – це специфічний спосіб розв’язування різних математичних задач, в першу чергу, диференційних рівнянь. Він базується на застосуванні інтегральних перетворень, зокрема, перетворення Лапласа, та складається з таких етапів:

1) від шуканої функції переходять до функції комплексної змінної, яку називають зображенням шуканої функції;

2) над зображенням виконують операції, які відповідають заданим операціям над шуканою функцією, – отримують так зване операторне рівняння для зображення ;

3) операторне рівняння розв’язують відносно ;

4) від отриманого зображення переходять до оригіналу, який є шуканою функцією.

КОНТРОЛЬНА РОБОТА № 7

Тема 1. Теорія функцій комплексної змінної

Література : [1], гл. I-VII; [2], гл. 1, § 1-6, гл. 2, гл. 4,гл. 5, § 1; [3], гл. I;

[6], гл. 11, § 1, 2, 4, гл. 12, § 1, 3, 5, 6.

При вивченні матеріалу цієї теми студент повинен усвідомити основні поняття теорії функції комплексної змінної , навчитися обчислювати значення елементарних функцій, інтегралів вздовж замкненого контуру, будувати розвинення функцій в ряд Лорана та обчислювати лишки.

Розглянемо приклади.

Приклад 1. Побудувати на комплексній площині числа , .

Розв’язок. Числу на координатній площині відповідає точка з координатами , а числу – точка .

Приклад 2. Виконати арифметичні дії з комплексними числами , .

Розв’язок. ;

;

Приклад 3. Записати комплексні числа у показниковій та тригонометричній формах.

а) .

Розв’язок. Обчислимо модуль та головне значення аргумента комплексного числа.

, .

;

, або

Тоді – тригонометрична форма,

та – показникова форма.

б) .

Розв’язок. , ;

;

, або

Тоді – тригонометрична форма,

та – показникова форма.

Приклад 4. Зобразити геометричне місце точок, які задовольняють умові

Розв’язок.

Це рівняння кола з центром у точці , яка відповідає комплексному числу . Радіус кола дорівнює .

Приклад 5. Обчислити значення функцій комплексної змінної.

а) .

Розв’язок. Обчислимо модуль та головне значення аргументу комплексного числа.

, ; ;

Тоді . За правилом обчислення кореня з комплексного числа маємо

б) .

Розв’язок. , ; ;

в) .

Розв’язок.

1 спосіб. Значення синуса комплексного аргумента можна обчислити з використанням зв’язку цієї тригонометричної та показникової функції.

;

2 спосіб. Для тригонометричних функцій комплексної змінної є вірними всі властивості функцій дійсної змінної.

г) .

Розв’язок.

1 спосіб.

2 спосіб.

д) .

Розв’язок. .

, , , ;

;

е) .

Розв’язок. , , , ; ;

Приклад 6. З’ясувати, чи є функція аналітичною.

Розв’язок. .

Отже, ; .

Обчислимо частинні похідні цих функцій.

; ;

; .

Умови Коші – Рімана , виконуються для будь-яких дійсних х та у , отже, функція є аналітичною на всій комплексній площині.

Приклад 7. Обчислити інтеграли по замкнутому контуру.

а) .

Розв’язок. Функція аналітична на всій комплексній площині, крім точки .

Побудуємо контур інтегрування – коло .

Точка розташована поза колом , тому

б) .

Розв’язок. Функція аналітична на всій комплексній площині, крім точки .

Побудуємо контур інтегрування – коло . Точка – внутрішня точка цього кола, функція аналітична, тому за інтегральною формулою Коші

(або ) отримаємо

в) .

Розв’язок. Функція аналітична на всій комплексній площині, крім точок, в яких справджується рівність , тобто крім точок та .

Побудуємо контур інтегрування – лінію . Це коло з центром в точці та радіусом .

Точка – внутрішня точка цього кола, точка лежить поза колом. Тоді підінтегральну функцію можна записати у вигляді , де – функція, аналітична у всіх точках області, обмеженої контуром інтегрування. Тоді згідно з інтегральною формулою Коші

г) .

Побудуємо контур інтегрування – лінію . Це коло з центром у початку координат та радіусом . Точка – внутрішня точка цього кола, точка лежить поза колом. Тоді підінтегральну функцію можна записати у вигляді , де – функція, аналітична у всіх точках області, обмеженої контуром інтегрування. Згідно з інтегральною формулою Коші

д)

Побудуємо контур інтегрування – лінію . Це коло з центром у точці та радіусом . Точка – внутрішня точка цього кола, точка лежить поза колом. Тоді підінтегральну функцію можна записати у вигляді , де – функція, аналітична у всіх точках області, обмеженої контуром інтегрування.

Для обчислення інтеграла від цієї функції можна застосувати інтегральну формулу типу Коші

Для отримаємо .

Тоді , , та

Приклад 8. Знайти круг збіжності степеневого ряду та побудувати його на комплексній площині. Якщо є можливість, дослідити поведінку ряду на межі кругу.

а)

Розв’язок. ; .

Обчислимо радіус збіжності :

Ряд абсолютно збігається для всіх , які задовольняють умові . З’ясуємо поведінку ряду у точках, для яких :

Цей ряд абсолютно збігається, отже, степеневий ряд є абсолютно збіжним для всіх чисел, для яких . Цій умові відповідає круг з центром у початку координат та радіусом . Граничні точки також входять до області збіжності ряду.

б) .

Розв’язок. .

Обчислимо радіус збіжності :

Таким чином, ряд абсолютно збігається для всіх , які задовольняють умові , тобто у внутрішніх точках кругу з центром у точці та радіусом .

Дослідимо поведінку ряду на межі цього кругу, тобто при :

Цей ряд згідно з необхідною умовою збіжності розбігається ( ), отже, на колі степеневий ряд є розбіжним.

в)

Розв’язок. Це ряд з пропуском степенів, отже, для його дослідження доцільно скористатися ознакою Даламбера або Коші.

Оберемо ознаку Даламбера:

; ;

Дослідимо поведінку ряду на межі цього кругу, тобто для , які задовольняють умові :

Цей числовий ряд з додатними членами збігається, отже, степеневий ряд на колі є абсолютно збіжним.

Приклад 9. Знайти лишки функції у всіх її скінченних особливих точках.

а) .

Розв’язок. Особливі точки функції відповідають умові

; , – полюси 1-го порядку.

Лишки у полюсах 1-го порядку обчислюються за формулою

тобто

;

б) .

Розв’язок. ; – полюси 1-го порядку.

Лишки у таких точках можна також обчислити за формулою

де – аналітична функція, .

Тоді

;

в) .

Розв’язок. – полюс 3-го порядку.

Лишок у цій точці обчислюється за формулою

, або для

Тоді ;

; ,

отже, .

б) .

Розв’язок. Особлива точка . Для обчислення лишка у цій точці побудуємо розвинення функції у відповідний ряд Лорана. Для цього скористаємося відомим розвиненням показникової функції у степеневий ряд

Тоді

Згідно з означенням лишка, .

Тема 2 . Інтегральні перетворення

Література : [2], гл. 8; [3], гл. VI; [4], гл. XIX; [6], гл. 13.

При розгляді цієї теми студент повинен навчитися будувати зображення Лапласа функцій з використанням властивостей перетворення Лапласа та таблиці зображень, оволодіти найпростішими методами відновлення оригіналу за відомим зображенням та навчитися розв’язувати диференціальні рівняння методами операційного числення.

Розглянемо деякі приклади.

Приклад 1. Знайти зображення Лапласа заданих функцій.

а) .

Розв’язок. Розглядувана функція є лінійною комбінацією функцій, зображення яких відомі:

; .

Тоді

б) .

Розв’язок.

1 спосіб. Зображення Лапласа функції відомо:

За теоремою про диференціювання зображення

;

Остаточно .

2 спосіб. Зображення Лапласа функції відомо:

Скористаємося теоремою про диференціювання зображення:

За теоремою зміщення отримаємо:

в) .

Розв’язок. Запишемо розглядувану функцію за допомогою функції Хевісайда:

Зображення функції відомо:

Згідно з теоремою спізнення маємо:

Остаточно .

Приклад 2. Знайти оригінал за заданим зображенням.

а) .

Розв’язок. Розглядувану функцію дуже легко записати як лінійну комбінацію табличних:

;

; ; .

Тоді .

б) .

Розв’язок.

1 спосіб. Запишемо задане зображення у вигляді, який дозволяє використати таблицю оригіналів.

Отже, .

Тоді шуканим оригіналом є функція .

2 спосіб. Функція є правильним дробом. Особливі точки цієї функції задаються умовою . Цій рівності відповідають числа та , які є комплексно спряженими полюсами 1-го порядку.