Обратимся теперь к тем уравнениям Максвелла, которые связывают электрические и магнитные поля. Это две теоремы о циркуляции [см. (12.4) и (12.6) ]:

, . (13.4)

Выберем в пространстве небольшой прямоугольный контур со сторонами dy,dz, параллельными осямyиz(рис. 13.2.). Запишем первое уравнение системы (13.4) для этого контура.

Рис. 13.2.

Вспомним, что левая часть этого уравнения — циркуляциявектора напряженности магнитного поля по выбранному контуру:

,

а правая — это ток проводимости и поток вектора через площадку (dydz), ограниченную контуром 1-2-3-4-1:

.

Приравняв два последних результата, получим

.

Выбрав два других контура с площадями dxdzиdxdy, вновь для них запишем первое уравнение системы (13.4). В итоге это уравнение можно будет представить следующими тремя уравнениями:

(13.5)

Поступив точно также со вторым уравнением системы (13.4), заменим его следующей тройкой дифференциальных уравнений:

(13.6)

Уравнения (13.5) и (13.6) — уравнения Максвелла в дифференциальной форме.

Теперь конкретизируем задачу (правильнее было бы сказать — упростим).

1. Среда — однородный, изотропный диэлектрик. Это означает, что токи проводимости отсутствуют:j_x=j_y=j_z= 0.
2. Будем рассматривать поля и ,зависящие только от одной координатыxи времениt. Этоодномерная задача(рис. 13.3.).

Рис. 13.3.

Для этого конкретного случая уравнения Максвелла (13.5) и (13.6) можно упростить и записать в таком виде

Эти уравнения означают, что изменяющееся во времени электрическое поле D_yрождает магнитное полеH_z, направленное вдоль осиz. Переменное магнитное полеB_yявляется источником электрического поля, меняющегося вдоль осиz. И так далее. В любом случае эти поля — и — перпендикулярны друг другу.

Примем, для определенности, что электрическое поле направлено вдоль оси y(E =E_y,E_z= 0), а магнитное — вдоль осиz(H=H_z,H_y= 0). Тогда последняя система четырех уравнений упростится до двух:

(13.7)

Первое из этих уравнений продифференцируем по времени t, а второе — по координатеx:

Сравнивая эти два уравнения, приходим к замечательному выводу:

Или еще понятнее:

. (13.8)

Но теперь-то мы знаем, что это дифференциальное волновое уравнение.

Таким образом, решая совместно уравнения Максвелла, мы пришли к выводу, что в однородной изотропной среде электрические (и магнитные!) поля распространяются в виде электромагнитной волны. Теперь известна и скорость этой волны:

Здесь — скорость электромагнитной волны в вакууме (e= 1 иm= 1).

Это значение — с= 3×10⁸м/с, как известно, великолепно подтверждается экспериментом.

Подобное уравнение можно получить и для магнитной составляющей волны:

(13.9)

Решения этих волновых уравнений — (13.8) и (13.9) — хорошо известны:

Теперь найдем связь между мгновенными значениями напряженности электрического (Е) и магнитного (Н) полей. Для этого первое уравнение продифференцируем поt, а второе — поx:

Эти уравнения подставим в первое уравнение системы (13.7):

Проинтегрировав это равенство, получим

Поскольку речь идет о переменных полях, постоянную интегрирования можно положить равной нулю: С= 0. Тогда последнее уравнение можно будет представить так:

или

. (13.10)

Этот результат означает, что напряженности электрического (Е) и магнитного (Н) полей в электромагнитной волне пропорциональны друг другу и меняются, следовательно, синфазно.

Подводя итог, сформулируем еще раз основные свойства электромагнитных волн.

1. Электромагнитные волны поперечны, то есть

1. Скорость распространения волны в однородной среде

Здесь — скорость электромагнитной волны в вакууме (e= 1,m= 1),e₀иm₀— диэлектрическая и магнитная проницаемости среды.

1. Электрическое и магнитное поле в волне меняются в фазе. Мгновенные значения ЕиНпропорциональны друг другу: