Простой, несгруппированный ряд, особенно при большом объеме совокупности, является громоздким и неудобным для вычисления средних величин, поэтому он обычно составляется при небольшом числе наблюдений (n < 30).

           При большом числе наблюдений (n > 30) строят сгруппированный ряд на основе интервала (i), показывающего число вариант, объединенных в одну группу.

           Группировку рядов проводят следующим образом:

1. Определяют размах ряда (амплитуду) вычитанием минимальной варианты из максимальной;

2. Полученное число делят на желаемое количество групп – так определяется интервал;

3. Начиная с минимальной варианты, строят вариационный ряд. Границы интервалов должны быть четкими, исключающими попадание одной и той же варианты в разные группы.

           Правильно составленный сгруппированный (интервальный) ряд должен отвечать следующим требованиям:

1. Все варианты распределения должны войти в группы;

2. Общее число выделенных групп должно быть не менее 7 (иначе вычисленная средняя арифметическая будет неточной) и не более 15 (иначе ряд будет большим и громоздким);

3. Каждая новая последующая группа должна начинаться с новой последующей варианты, т.е. одна и та же варианта не должна встречаться в двух смежных группах.

4. Интервал должен быть одинаковым в каждой группе, т.е. в каждую группу должно входить одинаковое число вариант. Размер интервала определяют, исходя из характера изучаемого признака, из числа выбранных групп, количества вариант и числа наблюдений. Величина интервала выбирается также с учетом целей и задач исследования.

5. Каждая группа в сгруппированном ряду должна иметь начальную и конечную варианты, т.е. не должно быть так называемых открытых групп (например, до 5 лет, старше 60 лет и т.п.).

6. Каждой группе присваивается частота, равная сумме частот всех вариант, вошедших в группу.

           Упрощение сгруппированного ряда заключается в предварительном определении середины интервала (центральной варианты).

           В прерывных сгруппированных вариационных рядах центральная варианта определяется как полусумма начальной и конечной вариант в группе и ей присваивается суммарная частота всех вариант, вошедших в данную группу.

           В непрерывных сгруппированных вариационных рядах центральная варианта определяется как полусумма начальных вариант соседних групп.

       Средняя арифметическая (М) – производная вариационного ряда, которая одним числом характеризует весь ряд и выражает его основную закономерность.

       1. Вычисление простой и взвешенной средней арифметической.

       Средняя арифметическая простая вычисляется для простого невзвешенного вариационного ряда, в котором варианты встречаются с частотой, равной единице (Р = 1), и определяется как сумма всех вариант (Е V ), деленная на число наблюдений ( n ):

       M = ∑ V / n, где M – средняя арифметическая, V – варианты, ∑ – знак суммирования, n – число наблюдений.

ПРИМЕР: Содержание сахара в крови (в мг %).

           M = ∑V / n = 1000 / 10 = 100 мг %

       Средняя арифметическая взвешенная вычисляется в тех случаях, когда в вариационном ряду отдельные значения вариант повторяются (P > 1).

       M = ∑ VP / n, где М – средняя арифметическая, V – варианты, Р – частоты, ∑ – знак суммирования, n – число наблюдений.

ПРИМЕР: Результаты измерения массы тела юношей 18 лет.

           M = ∑VP / n = 1540 / 25 = 61.6 кг

       2. Вычисление средней арифметической по способу моментов (условных отклонений).

       При больших числовых значениях признака в значительных по объема совокупностях средняя арифметическая вычисляется упрощенным способом, который называется «способ моментов» или «способ условных отклонений».

       Вычисление средней арифметической по способу моментов основано на следующих ее свойствах:

       1. Каждая варианта отклоняется от средней в большую или в меньшую сторону. Это отклонение (d) может быть выражено положительным или отрицательным числом.

       2. Сумма отклонений с положительным знаком всегда равна сумме отклонений с отрицательным знаком, следовательно, алгебраическая сумма отклонений всех вариант от средней равна нулю (это свойство средней лежит в основе данного способа вычисления).

       3. Средняя арифметическая равна любой произвольно взятой величине плюс среднее отклонение от нее всех членов ряда, которое имеет выражение ∑Pd / n и называется моментом первой степени (обозначается буквой А).

       Средняя арифметическая вычисляется по формуле:

       M = M ₁ + ∑ dP / n, где М – средняя арифметическая, М₁ – «условная» средняя арифметическая, d – отклонение условной средней от вариант, Р – частота, n – число наблюдений, ∑ - знак суммирования.

       Вычисление ведется от «условной» средней (М₁). За среднюю условно принимается любая варианта, чаще мода (как наиболее часто встречающаяся варианта). Если эта величина действительно средняя арифметическая, то сумма отклонений всех вариант от нее будет равна нулю. Если сумма отклонений будет равняться какой-то величине, то это означает, что «условная» средняя не соответствует действительной и к ней требуется поправка (момент первой степени – А):

       Если А = ∑Pd / n, тогда М = М₁ + А.

ПРИМЕР: Средняя дневная нагрузка врача-терапевта в поликлинике.

       Последовательность вычислений:

1. Выбираем «условную» среднюю М₁ = 18 больных;

2. Определяем отклонение ( d ) каждой варианты от «условной средней»: d = V – M₁;

3. Найденные отклонения умножаем на частоты: P x (V – M₁) = Pd;

4. Вычисляем алгебраическую сумму всех отклонений ∑Pd = - 4;

5. По формуле определяем среднюю арифметическую:

           M = M₁ + ∑Pd / n; M = 18 + (- 4) / 22 = 18 + (- 0,18) = 17,82.

11. Меры изменчивости вариант (амплитуда, среднеквадратичное отклонение, коэффициент вариации). Методика вычисления, сущность, оценка, применение.

           Средние величины являются важными характеристиками совокупности, од­нако они полностью не раскрывают индивидуальные значения признака, которые отличаются от средних и различаются между собой. Средние величины скрывают изменчивость, колеблемость признака, его рассеянность.

           При обработке вариационного ряда недостаточно только лишь вычислить среднюю арифметическую, нужно еще оценить, насколько она типична и достоверна для данной совокупности. Для этого в статистике существуют специальные параметры средней - мера типичности и мера достоверности.