Рассмотрим задачу Кошм для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка. Для этого уравнения задача Коши ставится следующим образом: найти непрерывно дифференцируемую функцию  удовлетворяющую уравнению:

                                                                            (7.4)

и начальному условию при :

                                                                             (7.5)

На примере этой задачи изложим идею метода Эйлера. Пусть требуется найти решение задачи (1.4), (1.5) на интервале . На этом интервале построим систему равноотстоящих точек с достаточно малым шагом h:

Для вычисления значения функции в точке  разложим функцию  в окрестности точки  в ряд Тейлора:

                                (7.6)

При достаточно малом h мы можем пренебречь членами выше 2-го порядка, и с учетом соотношения  получим формулу для вычисления приближенного значения функции  точке :

                                                 (7.7)

Рассматриваем найденную точку  как начальное условие задачи Коши, найдем аналогично значение решения  в точке :

                                                             (7.8)

Аналогичным образом находим значения решения в последующих точках:

                                    (7.9)

Правило (1.9) носит название метода Эйлера. Иногда его называют методом ломаных или методом касательных. Как видно из формулы (1.6), метод Эйлера имеет погрешность на каждом шаге (локальную погрешность) пропорциональную . Суммарная погрешность метода Эйлера после n шагов пропорциональна . Поскольку  то суммарная погрешность метода Эйлера пропорциональна , h т.е. метод Эйлера имеет точность первого порядка по h. Метод Эйлера имеет простую геометрическую интерпретацию (см. рис. 7.1)

Рис 7.1 – Нахождение решения методом Эйлера

Пример 1

Решить задачу Коши для дифференциального уравнения

1. Определяем функцию, стоящую в правой части уравнения:

2. Задаем начальные условия:

3. Определяем функцию, которая находит решение дифференциального уравнения методом Эйлера. Она имеет следующие аргументы:

-  – левый и правый концы интервала интегрирования

-  – значение решения в точке

-  – число точек разбиения отрезка

-  – имя функции, определяющей правую часть дифференциального уравнения

4. Находим решение дифференциального уравнения на отрезке [0;3] методом Эйлера:

5. Строим график полученного решения:

Встроенные функции Mathcad для решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем.

Рассмотрим встроенные функции Mathcad, предназначенные для решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Ø Функция Odesolve

Применение функции Odesolve требует задания вычислительного блока, состоящего из трех частей:

1) Ключевого слова Given

2) Дифференциального уравнения или системы обыкновенных дифференциальных уравнений и соответствующих граничных или начальных условий

3) Функции Odesolve ([vector], t, b, [n]), где vector – необязательный параметр (только для систем дифференциальных уравнений), содержащий имена неизвестных функций, t-имя независимой переменной, b-конечная точка интервала интегрирования, n-необязательный параметр, определяющий число шагов интегрирования, на которых вычисляется решение дифференциального уравнения или системы.

Результатом выполнения функции Odesolve является функция, являющаяся решением обыкновенного дифференциального уравнения (или вектор функции для системы ОДУ).

Пример:

Решить задачу Коши

1. Задаем уравнение и начальные условия:

2. Вызываем функцию Odesolve:

Ø Функция rkfixed

Функция rkfixed находит решение дифференциального уравнения или системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка. Обращение к функции имеет вид:

Rkfixed(init, t1, t2, npoints, D).

Аргументы функции:

Init-вектор начальных условий

t1, t2 – начало и конец интервала интегрирования npoints – количество точек разбиений интервала [t1, t2]

D-вектор правых частей дифференциального уравнения или системы

Пример

Решить задачу Коши с использованием функции rkfixed

1. Задаем правую часть дифференциального уравнения:

2. Вызываем функцию rkfixed:

3. Строим график решения:

Помимо функции rkfixed в Mathcad используется функция rkadapt. Вызов функции rkadapt аналогичен вызову функции rkfixed. Функция rkfixed ищет решение с постоянным шагом. Функция rkadapt проверяет, как быстро изменяется решение и соответственно изменяет шаг интегрирования.

Рассмотренные выше функции позволяют находить решения и систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Пример:

Решить задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений на интервале [0,10]:

Решение: 

1. Определяем границы интервала интегрирования:

2. Задаем уравнения и начальные условия

3. Строим график решения системы: