Пусть уравнение  имеет на отрезке  единственный корень и  на данном отрезке непрерывна.

Рисунок 2.1 – Метод половинного деления

Разделим отрезок  пополам точкой  (рис. 2.1).

Если , то возможны два случая:

1) корень лежит на отрезке

2) корень лежит на отрезке .

Если , то корень лежит на отрезке , а если , то корень лежит на отрезке . Выбираем в каждом случае тот отрезок, на котором функция меняет знак и продолжаем процесс половинного деления. В результате получим сколь угодно малый отрезок, содержащий корень уравнения. Блок схема алгоритма половинного деления приведена на рис. 2.2.

Рис. 2.2 – Блок схема алгоритма метода половинного деления

Рассмотрим пример нахождения корня методом половинного деления в Mathcad.

Пример 2.1

Найти решение уравнения методом половинного деления.

Решение:

1. Определяем функцию , равную левой части уравнения:

2. Определяем интервал, на котором находится корень уравнения. Для этого строим график функции .

3. Задаем функцию mpd(a, b, ε), определяющую корень уравнения методом половинного деления. Эта функция имеет следующие аргументы:
a, b – границы интервала, на котором находится корень уравнения, ε – точность вычисления корня.

4. Вычисление значения корня:

mpd(–2, 2, 0.01)=1.242

Таким образом, корень уравнения равен –1.242. Из графика видно, что корень уравнения находится на отрезке [–2;2], поэтому границы этого отрезка взяты в качестве параметров a и b функции mpd. Корень найден с точностью ε=0.01.

М е т о д хорд

Вместо деления отрезка  пополам, как в методе половинного деления, делим его в отношении . Таким образом первое приближение корня находится в точке пересечения отрезка  хордой, проходящей через точки с координатами  и .Если функция меняет знак на отрезке , т.е. , то корень лежит на отрезке , в противном случае корень лежит на отрезке . Выбирая в качестве нового отрезка отрезок  или  продолжаем процесс до тех пор, пока длина отрезка, на котором находится корень, не станет меньше любого наперед заданного числа . Точку c находим следующим образом.

Запишем уравнение прямой, проходящей через точки с координатами  и :

Точка пересечения этой прямой с осью Ох и будет искомой точкой с. Итак,

Блок-схема алгоритма метода хорд приведена на рис. 2.3

Рис 2.3 – Блок-схема метода хорд

Таким образом, алгоритм метода хорд заключается в следующем:

1. Находим точку с по формуле:

2. Если условие пункта 2 не выполняется, то вычисляем произведение . Если , то полагаем , в противном случае полагаем .

3. Если , то завершаем алгоритм. Искомый корень равен с. Корень найден с точностью . В противном случае переходим к пункту 1.

Рассмотрим пример нахождения корня методом хорд.

Пример 2.2

Найти решение уравнения  методом хорд.

Решение:

1. Определяем функцию , равную левой части уравнения:

2. Определяем интервал, на котором находится корень уравнения. Для этого строим график функции :

3. Задаем функцию horda(a, b, ε), определяющую корень уравнения методом хорд.

Эта функция имеет следующие аргументы: a, b – границы интервала, на котором находится корень уравнения, ε – точность вычисления корня. Функция horda возвращает значение корня и количество итераций k, необходимое для достижения заданной точности.

Находим корень уравнения с точностью , используя метод хорд:

horda(–2, –1, 0.001)=