Эти свойства длины отрезка используются при ее измерении. Что­бы измерить длину отрезка, нужно иметь единицу длины. В геометрии такой единицей является длина произвольного отрезка.

Как показано в п. 98, результатом измерения длины отрезка явля­ется положительное действительное число - его называют численным значением длины отрезка при выбранной единице длины или мерой длины данного отрезка. Если обозначить длину отрезка буквой X, единицу длины - Е, а получаемое при измерении действительное чис­ло - буквой а, то можно записать: а = тЕ(Х) или Х = а·Е.

Получаемое при измерении длины отрезка положительное дейст­вительное число должно удовлетворять ряду требований:

1.Если два отрезка равны, то численные значения их длин тоже равны.

2. Если отрезок х состоит из отрезков х1 и х2, то численное значе­ние его длины равно сумме численных значений длин отрезков х1 и х2.

3. При замене единицы длины численное значение длины данного отрезка увеличивается (уменьшается) во столько раз, во сколько новая единица меньше (больше) старой.

4. Численное значение длины единичного отрезка равно единице.

1. Доказано, что положительное действительное число, являющееся мерой длины заданного отрезка, всегда существует и единственно.

2. Доказано также, что для каждого положительного действительного числа существует отрезок, длина которого выражается этим числом.

Заметим, что часто, ради краткости речи, численное значение длины отрезка называют просто длиной. Например, в задании «Найдите длину данного отрезка» под словом «длина» подразумевается числен­ное значение длины отрезка. Не менее часто допускают и другую воль­ность - говорят: «Измерь отрезок» вместо «Измерь длину отрезка».

Задача. Построить отрезок, длина которого 3,1Е. Каким будет численное значение длины этого отрезка, если единицу длины Е уве­личить в 3 раза ?

Решение. Построим произвольный отрезок и будем считать его единичным. Затем построим прямую, отметим на ней точку А и отло­жим от нее 3 отрезка, длины которых равны Е. Получим отрезок АВ, длина которого 3Е (рис. 1). Чтобы получить отрезок длиной 3,2Е, надо ввести новую единицу длины. Для этого единичный отрезок надо разбить либо на 10 равных частей, либо на 5, поскольку 0,2 = 1/5. Если от точки В отложить отрезок, равный 1/5 единичного, то длина отрезка А С будет равна 3,2Е.

Е     

!⌐⌐⌐⌐⌐!

Е₁

!⌐⌐⌐⌐⌐!⌐⌐⌐⌐⌐!⌐⌐⌐⌐⌐!⌐!

А                             В С

Чтобы выполнить второе требование за­дачи, воспользуемся свойством 3, согласно которому при увеличе­нии единицы длины в 3 раза численное значение длины данного отрезка уменьшается в 3 раза. Разделим 3,2 на 3, получим: 3,2:3 = 3 1/5:3 = 16/15 = 1 1/15. Таким образом, при единице длины 3Е численное значение построенного отрезка АС будет равно 1 .

Упражнения

1. Отметьте на прямой три равных отрезка: АВ, ВС и С D. Чему бу­дет равна длина каждого из этих отрезков, если за единицу длины будет выбрана длина отрезка:

а)АВ;    б) АС;    в)А D?

2. Численное значение длины отрезка, измеренной при помощи единицы Е1 равно 6, а измеренной при помощи единицы Е2 равно 4. В каком отношении находятся между собой единицы длины Е1  и  Е2?

3. Из одного куска проволоки, не разрезая его, надо сделать каркас:

а) треугольной пирамиды; б) четырехугольной пирамиды; в) куба. Каж­дое ребро этих многогранников равно 1 см. Какова наименьшая длина такой проволоки?

4. Существуют ли на плоскости три точки А, В и С, такие, что:

а) АС= 15 см, АВ = 8 см, ВС =7 см;

б) АС = 8 см, АВ = 25 см, ВС = 40 см;

в) АС = 14 см, АВ = 30 см, ВС = 40 см?

5. Постройте отрезок, длина которого 4,6Е. Каким будет числен­ное значение длины этого отрезка, если единицу длины Е:

а) увеличить в два раза; б) уменьшить в 1,5 раза?

6. Длину стола измеряли сначала в сантиметрах, потом в децимет­рах. В первом случае получили число на 108 больше, чем во втором. Чему равна длина стола?