Чтобы измерить площадь фигуры, нужно иметь единицу площади. Как правило, такой единицей является площадь квадрата со стороной, равной единичному отрезку.

Условимся площадь единичного квадрата обозначать буквой Е, а число, которое получается в результате изме­рения площади фигуры – S(F). Это число называют численным значе­нием площади фигуры F при выбранной единице площади Е. Оно должно удовлетворять условиям:

1. Число S(F) - положительное.

2. Если фигуры равны, то равны численные значения их площадей.

3. Если фигура F  состоит из фигур F1 и F2, то численное значение пло­щади фигуры равно сумме численных значений площадей фигур F1 и F2.

4. При замене единицы площади численное значение площади дан­ной фигуры F  увеличивается (уменьшается) во столько же раз, во сколько новая единица меньше (больше) старой.

5. Численное значение площади единичного квадрата принимается равным 1, т.е. S(F)  = 1.

6. Если фигура F1 является частью фигуры F2, то численное значе­ние площади фигуры F1 не больше численного значения площади фи­гуры F2, т. е. F1 ⊂  F2  => S(F1) ≤  S(F2)  

В геометрии доказано, что для многоугольников и произвольных плоских фигур такое число всегда существует и единственно для каждой фигуры.

Фигуры, у которых площади равны, называются равновеликими.

Упражнения

1. Площадь фигуры F равна сумме площадей фигур F1 и F2. Значит ли это, что фигура F составлена из фигур F1 и F2.

2. Два треугольника имеют равные площади. Следует ли из этого, что они равны?

3. Известно, что S(F1) >  S(F2). Следует ли отсюда, что F2 ⊂  F1 .

4. Верно ли, что:

а) Численные значения площади одной и той же фигуры могут быть различными?

б) Численные значения неравных фигур могут быть равными?

в) Равновеликие фигуры равны?

5. Известно, что площадь фигуры 34,78 см². Каким будет численное значение площади этой фигуры, если измерить ее в квадратных деци­метрах?

Площадь многоугольника

Формулы для вычисления площади прямоугольника, треугольни­ка, параллелограмма были выведены давно. В геометрии их обосно­вывают, исходя из определения площади, при этом численное значе­ние площади называют площадью, а численное значение длины от­резка - длиной.

Теорема. Площадь прямоугольника равна произведению длин соседних его сторон.

Напомним, что слово «площадь» в этой формулировке означает численное значение площади, а слово «длина» - численное значение длины отрезка.

Доказательство. Если F- данный прямоугольник, а числа а, b-длины его сторон, то S(F) = а· b. Докажем это.

Пусть а и b - натуральные числа. Тогда прямо­угольник F  можно разбить на единичные квадраты (рис. 3): F = Е ⊕ Е ⊕ Е ⊕ ... ⊕ Е. Всего их а· b, так как имеем b  рядов, в каждом из которых а квадратов. Отсюда

S(F) = S(Е) + S(Е)+…+ S(Е)= а ·b·S(Е )= а ·b.

а· b  слаг.                   1               

Пусть теперь а и b - положительные рациональные числа: а= m/ n, b= p/ q,  где т, п, р, q - натуральные числа.

Приведем данные дроби к общему знаменателю: а= mq/ nq, b= np/ pq

Разобьем сторону единичного квадрата Е на п q  равных частей. Если через точки деления провести прямые, параллельные сторонам, то квадрат Е разделится на (п q)^г более мелких квадратов. Обозначим площадь каждого такого квадрата Е1. Тогда S(Е) = (п q)^г S(Е1), а поскольку S(Е) = 1, то

S(Е1)= 1/(п q)^г.

Так как а= mq/ nq, b= np/ pq, то отрезок длиной 1/ nq укладывается на стороне а точно mq раз, а на стороне b – точно np раз. Поэтому данный прямоугольник F будет состоять из mq· np квадратов Е1. Следовательно,

S( F) = mq· np· S(Е1) = mq· np(1/(п q)^г =  ( mq· np)/( np· np)= m/ p· p/ q= а· b.

Таким образом доказано, что если длины сторон прямоугольника выражены положительными рациональными числами а и b, то пло­щадь этого прямоугольника вычисляется по формуле S( F) = а· b.

Случай, когда длины сторон прямоугольника выражаются поло­жительными действительными числами, мы опускаем.

Из этой теоремы вытекает следствие: площадь прямоугольного тре­угольника равна половине произведения его катетов.

Теорема. Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

Доказательство. Пусть АВС D - параллелограмм, не являю­щийся прямоугольником (рис. 4). Опустим перпендикуляр СЕ из вершины С на прямую А D. Тогда S(АВСЕ) = S(АВС D) + S(С DЕ).

Опустим перпендикуляр В F из вершины В на прямую А D.  Тогда S ( АВСЕ ) = S ( ВСЕ F) + S ( АВ F).

Так как треугольники АВ F и С DЕ равны, то равны и их площади.

Отсюда следует, что S(АВС D) = S(ВСЕ F), т.е. площадь параллелограмма АВС D равна пло­щади прямоугольника ВСЕ F и равна ВС·ВР, а так как ВС = А D, то S(АВС) = А D ·В F.

Из этой теоремы вытекает следствие: пло­щадь треугольника равна половине произведения его стороны на проведенную к ней высоту.

Теорема. Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

Если периметр правильного многоугольника обозначить буквой Р, радиус вписанной окружности – r, а площадь правильного многоугольника – S, то, согласно данной теореме, S = 1/2· P· s.

Доказательство. Пусть АВСВ - параллелограмм, не являю­щийся прямоугольником (см. рис.). Опустим перпендикуляр СЕ из вершины С на прямую А D. Тогда S(АВСЕ) = S(АВС D) + S(С DЕ).

Опустим перпендикуляр В F из вершины В на прямую АВ .

Тогда S( АВСЕ )= S(ВСЕ F) + S( АВ F).

Так как треугольники АВ F и С DЕ равны, то равны и их площади.

Отсюда следует, что S(АВС D) = S(ВСЕ F), т.е. площадь параллелограмма АВС D равна пло­щади прямоугольника ВСЕ F и равна ВС·В F, а так как ВС = А D, то S(АВС D) = А D·В F.

           В                          С

Из этой теоремы вытекает следствие: пло­щадь треугольника равна половине произведения его стороны на проведенную к ней высоту.

А    F                      D     E

Заметим, что слова «сторона» и «высота» обозначают численные значения длин соответствующих отрезков.

Теорема: Площадь правильного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

Если периметр правильного многоугольника обозначить буквой Р, радиус вписанной окружности – r, а площадь – S, то, согласно данной теореме, S = • Р• r.

Доказательство. Разобьем правильный n-угольник на n треугольников, соединяя отрезками вершины n-угольника с центром вписанной окружности. Эти треугольники равны. Площадь каждого из них равна • а• r,

где a - сторона правильного многоугольника.

Тогда площадь многоугольника равна • а• r•n, но а•n = Р. Следовательно, S = • Р• r.

Если F- произвольный многоугольник, то его площадь находят, разбивая многоугольник на треугольники (или другие фигуры, для которых известны правила вычисления площади). В связи с этим возникает вопрос: если один и тот же многоугольник по-разному разбить на части и найти их площади, то будут ли получен­ные суммы площадей частей многоугольника одинаковыми? Доказа­но, что условиями, сформулированными в определении площади, площадь всякого многоугольника определена однозначно.

Кроме равенства и равновеликости фигур в геометрии рассматри­вают отношение равносоставленности. С ним связаны важные свойст­ва фигур.

Многоугольники F₁ и F₂ называются равносоставленными, если их можно разбить на соответственно равные части.

Например, равносоставлены параллелограмм АВС D и прямоуголь­ник FВСЕ, так как параллелограмм состоит из фигур F₁ и F₂, а прямоугольник - из фигур F₂ и F₃, причем F₁ = F₂.

Нетрудно убедиться в том, что равносоставленные фигуры равно­велики.

Венгерским математиком Ф.Бойяи и немецким любителем мате­матики П.Гервином была доказана теорема: любые два равновеликих многоугольника равносоставлены. Другими словами, если два много­угольника имеют равные площади, то их всегда можно представить состоящими из попарно равных частей.

Теорема Бойяи-Гервина служит теоретической базой для решения задач на перекраивание фигур: одну разрезать на части и сложить из нее другую. Оказывается, что если данные фигуры многоугольные и имеют одинаковые площади, то задача непременно разрешима.

Доказательство сложное. Мы докажем только утверждение о том, что всякий треугольник равносоставлен с некоторым прямоугольником, т.е. всякий треугольник можно перекроить в равновеликий ему прямоугольник.

В

Р К Т       L M

А        D               C

Пусть дан треугольник АВС. Проведем в нем высоту DВ и среднюю линию КL. Построим прямоугольник, одной стороной которого является АС, а другая лежит на прямой КL. Так как пары треугольников АРК и КВТ, а также СLМ и ТВL равны, то треугольник АВС и прямоугольник АРМС равносоставлены.