Означення 3.3 Дводольний граф G   це граф, множину вершин V якого можна розбити на дві непустих підмножини V ₁ й V₂, що не перетинаються  таким чином, що кожне ребро графа G з’єднує вершини із різних підмножин. Якщо дводольний граф G не містить кратних ребер і кожна вершина із множини V₁ з’єднана з кожною вершиною із множини V₂, то такий граф називають повним дводольним.

Теорема 3.4 Нехай R  скінченне кільце. Тоді Γ( R ) = K_n,m тоді і тільки тоді, коли  R ізоморфне одному із наступних кілець:

(1) Z₉ ;

(2) N_0,3 ;

(3) Z₃ [ x ] / ( x ² );

(4) N_2,2 ;

(5) N₄ ;

(6) Z₂ [ x ] / ( x ³ );

(7) Z₄ [ x ] / (2 x, x ² − 2);

(8) Z₈ ;

(9) A₂, ;

(10) GF ( q ₁ ) ⊕ GF ( q ₂ );

(11) GF ( q ₁ ) ⊕ N _0,2 ;

(12) GF ( q ₁ ) ⊕ Z₄ ;

(13) GF ( q ₁ ) ⊕ Z₂ [ x ] / ( x ² ) .

Ця теорема доведена у роботі [15]. Побудуємо відповідні приклади.

Розглянемо у якості першого прикладу кільце . За теоремою його граф дільників нуля буде дводольним графом K_n,m. Знайдемо значення індексів n та m. Ненульовими дільниками нуля у цьому кільці будуть елементи  та . В результаті отримаємо граф K_1,1:  

Рисунок 3.4  Г( )

     Означення 3.4 Лівим(правим) ідеалом кільця  називається таке його підкільце , що

     Лема 3.1 Нехай  - скінченне кільце. Тоді наступні умови еквівалентні:

1. Множина  - ідеал;

2. Будь який елемент  є нільпотентом кільця.

Повертаючись до попереднього прикладу, можна легко переконатись, що елементи  й  є нільпотентами для кільця , а ідеал кільця, породжений , також складається із елементів  і .

Визначимо відстань від кожної вершини графа до найдальшої від неї вершини: , яка називається ексцентриситетом.

     Означення 3.5 Максимальний ексцентриситет  має назву діаметру графа, а мінімальний  - радіусу графа.

     Означення 3.6 Вершина  називається центральною, якщо . Множину центральних вершин називають центром графа.

     Лема 3.2 Нехай  - скінченне кільце таке, що Г(R)=K 1,n з центром . Тоді наступні вимоги еквівалентні:

1. Множина  - ідеал;

2. a²=0;

3. Кільце R ізоморфне кожному із кілець Z₄, Z₈, Z₉, Z₂[х]/(х²), Z₂[х]/(х³), Z₃[х]/(х²) и Z₄[х]/(2х,х²-2).

     Приклад 3.4  Розглянемо кільце

Запишемо ідеали даного кільця, породжені елементами ,  ,  й :

I₁=( )= {0,2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28},

I₂=( )={0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27},

I₃=( )={0, 5, 10, 15, 20, 25},

I₄=( )={0, 6, 12, 18, 24}.

Усі вони за означенням ідеалу є кільцями, тому можна розглядати задачу про знаходження графів дільників нуля цих ідеалів. Нехай  - множина дільників нуля ідеалу , тоді

I₁*=( )= { 6, 10, 12, 18, 20, 24},

I₂*=( )={ 6, 12,15, 18, 24},

I₃*=( )={ 10, 15, 20},

I₄*=( )={0}.

Графи дільників нуля цих ідеалів, що позначаються ГI₁(Z₃₀), ГI₂(Z₃₀), ГI₃(Z₃₀), мають наступний вигляд:

Рисунок 3.5 Графи дільників нуля ідеалів кільця

     Теорема 3.5 Нехай дано кільце , де , p і q - прості. Якщо p і q різні, то граф дільників нуля такого кільця буде повним дводольним.

     Приклад 3.5 Кільце  задовольняє умові теореми 3.5, так як , отже граф дільників нуля є повним дводольним і має вигляд:

Рисунок 3.6 Граф =К_2,10 дільників нуля кільця

Аналогічно, для усіх  й рівних одному із наступних значень: 6; 10; 14; 15; 21; 22; 26; 33; 34; 35; 38; 39, 46, 51, 55, 57, 58, 62, 65, 69, 74, 77, 82, 85, 86, 87,91,93,94,95 графи дільників нуля для кільця  будуть повними дводольними графами.

Наслідок 3.1 Граф дільників нуля кільця , де , p і q – прості, є повним дводольним виду .