Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно - исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Означення 2.1 Графом дільників нуля кільця R називається граф        Γ(R), вершинами якого є всі ненульові дільники нуля цього кільця (односторонні і двосторонні), причому дві різні вершини  з'єднуються ребром тоді і тільки тоді, коли  або .

Для того, щоб навести перші приклади графів дільників нуля, введемо кілька важливих визначень.

Означення 2.2 Класом рівності(конгруенціями) за модулем m називають множину цілих чисел, що дають однакові залишки при діленні на m.

Множину класів рівності за модулем m позначають символом . За означенням 2.2 . Над конгруенціями можна здійснювати звичайні операції додавання і множення, наприклад, за наступними правилами:

 

; .                     (2.1)

 

Наведемо доведення факту, що множина конгруенцій утворює комутативне кільце з одиницею. Для цього перевіримо, що ця множина замкнена щодо введених операцій і що виконуються 8 аксіом:

 

а) ,

б) ,

 

Додавання конгруенцій асоціативне і комутативне. Існує нейтральний за додаванням елемент . Існує протилежний елемент  такий, що . Множення конгруенцій також асоціативно і комутативне. Існує нейтральний за множенням елемент  такий, що .

Означення 2.3 Множина конгруенцій за модулем m з операціями додавання і множення, які визначені формулами (2.1), називається кільцем класів рівності(конгруентності) за модулем m і позначається .

Розглянемо в якості першого прикладу конгруентність по модулю 30:

 

Побудуємо граф дільників нуля для кільця . Відповідно до даного вище означення, усі ненульові дільники нуля будуть вершинами шуканого графа. За означенням дільника нуля, в даному кільці безліч дільників нуля має вигляд:

 

 

Зобразимо граф дільників нуля для вибраного нами кільця. Кільце конгруентності за модулем m є комутативним, тому граф дільників нуля такого кільця буде неорієнтованим. Сполучатимемо ребрами ці елементи між собою тоді і тільки тоді, коли , або .

Означення 2.4 Неорієнтованим графом називається множина як завгодно розміщених на площині точок, деякі з яких сполучені відрізками або дугами.

Означення 2.5 Орієнтований граф (орграф) - це граф, ребрам якого присвоєний напрям. Спрямовані ребра іменуються також дугами.

 

 

Рисунок 2.1  Граф дільників нуля кільця  (або )

 

Аналогічним чином побудуємо ще декілька прикладів графів дільників нуля. Візьмемо, наприклад, кільця . Можна вважати, що ці приклади дають різні випадки. Індекси 4 і 16 є степенями простого числа 2, 7 - просте число, а 12 є прикладом цілого числа загального вигляду, його канонічний розклад має вигляд: . Для кільця   єдиним дільником нуля є елемент  . Кільце    є полем, оскільки число   є простим, а поле не має дільників нуля, тобто, якщо , то або , або , тобто граф дільників нуля такого кільця є порожнім. У кільці   дільниками нуля є елементи , а в кільці - елементи . Побудуємо графи дільників нуля для цих кілець:

 

                      

Рисунок 2.2  Графи дільників нуля

 

Покажемо вид графів дільників одного і того ж кільця при різних означеннях.

Приклад 2.2 Нехай , тобто маємо фактор-кільце кільця цілих чисел за його ідеалу.

Це кільце також можна розглядати як . І. Бек в якості вершин графа дільників нуля таких кілець розглядав кожен елемент кільця :

 

 

Рисунок 2.3 Граф дільників нуля за означенням І. Бека

 

Андерсон і Лівінгстон при побудові графа дільників нуля включали у множину вершин графа тільки дільники нуля кільця, кожен дільник нуля був окремою вершиною:

 

Рисунок 2.4  Граф дільників нуля за Андерсоном та Лівінгстоном

 

Означення 2.6 Анулятором елементу  комутативного кільця називається множина , а сукупність таких множин для усіх елементів кільця  називається анулятором кільця і позначається ann( ).

Означення 2.7 Елементи  і  кільця  називаються еквівалентними, якщо виконується умова . Позначається .

Відношення  є відношенням еквівалентності у кільці , тому розбиває усе кільце на класи еквівалентності. Використовуючи це відношення, можна вивчати структуру множини дільників нуля, не зображуючи увесь граф дільників нуля. Це важливо особливо у випадках скінченних кілець з великою кількістю елементів.

Означення 2.8 Для кільця   стисненим графом дільників нуля називається граф, що означає , вершинами якого являються ненульові класи еквівалентності і 2 вершини  і , сполучені ребром тоді і тільки тоді, коли .

Розглянемо як приклад знову кільце:

 

Побудуємо стиснений граф дільників нуля для кільця . Знайдемо анулятори дільників нуля кільця. Наприклад, , оскільки серед усіх елементів кільця   тільки , а  оскільки  та . Аналогічним чином, знаходячи анулятори для усіх інших дільників нуля кільця , у результаті отримаємо:

 

,

,

,

,

,

.

 

Класами еквівалентності кільця будуть наступні множини:

 

,

,

,

,

,

.

 

За означенням, вершинами стисненого графа дільників нуля кільця  будуть елементи: . Сполучатимемо ребрами ці елементи між собою тоді і тільки тоді, коли . Як було відмічено вище, це кільце є комутативним, а тому його граф дільників нуля буде неорієнтованим. У результаті, маємо наступний граф:

 

 

 

Рисунок 2.5  Стиснений граф  дільників нуля для кільця

 

 

Для пояснення зв'язку між звичайним і стисненими графами дільників нуля, побудуємо ще 2 приклади, які включатимуть і звичайний граф дільників нуля, і його стиснений граф:

 

Рисунок 2.6  Звичайні (с,d) та стиснені (a,b) графи дільників нуля

для кілець  и

 

Зв'язок між звичайними і стисненими графами дільників нуля кільця описується наступною теоремою.

Теорема 2.1 Нехай  і  - скінченні комутативні кільця. Якщо , тоді .

Обернена теорема не завжди вірна, ми можемо бачити це безпосередньо з рис 3.2: стиснені графи дільників нуля  і   ізоморфні, а звичайні - ні.

Теорему можна ефективно використати для доказу неізоморфності графів дільників нуля двох кілець. Цей факт випливає з неізоморфності стиснених графів дільників нуля цих кілець. Дійсно, з математичної логіки відомо, що теореми   і  або одночасно істинні, або одночасно неправдиві.

Приклад 2.3 Розглянемо кільце верхньотрикутних матриць другого порядку  над довільним комутативним кільцем  з одиницею. В якості кільця  виберемо кільце .

Ненульовими дільниками нуля кільця   є матриці:

 

 

Побудуємо таблицю множення Келі для дільників нуля кільця

 

	M0	M1	M2	M3	M4
M0	0	0	M0	0	M0
M1	M0	M1	0	M3	M0
M2	0	0	M2	0	M2
M3	M1	M1	M0	M3	0
M4	0	0	M4	0	M4

 

 

Рисунок 2.7 Таблиця множення Келі

 

Побудуємо сам граф дільників нуля даного кільця :

 

Рисунок 2.8 Граф дільників нуля для кільця

Лема 2.1 Нехай , тоді  також є дільником нуля в R тоді і тільки тоді, коли  - дільник нуля в R для деякого .

Доведення. Це випливає із того факту, що для верхньотрикутних матриць . За означенням дільника нуля,  є дільником нуля тоді і тільки тоді, коли  для деякого ненульового . Нехай  таке, що: , але . Тоді  і  - дільник нуля.

Означення 2.9 Нехай  - кільце с одиницею. Елемент  називають одиничним, якщо  

Теорема 2.2 .

(1) Матриця  - лівий і правий дільник нуля в  - дільник нуля в R для деякого .

(2) Якщо кожен елемент із R або одиничний, або дільник нуля, тоді кожен елемент із T або одиничний, або дільник нуля.

Теорема 2.3 У скінченному кільці з одиницею кожен ненульовий елемент або одиничний, або є дільником нуля.

Використовуючи лему 2.1 і теорему 2.2, сформулюємо і доведемо наступну теорему.

Теорема 2.4. Нехай  скінченне кільце, , і , тоді:

 

.

 

Доведення. Потужність множини   дорівнює , так як елемент  приймає рівно  значень, . Так як потужність множини одиничних елементів кільця  рівна , то можна підрахувати число одиничних елементів у кільці . Відповідно до леми 2.1 на головній діагоналі можуть знаходитись тільки одиничні елементи кільця . Інші елементи матриць із  можуть бути будь-якими елементами кільця . Тому:

 

,

 

де  - число можливих значень діагональних елементів,  - число можливих значень недіагональних елементів. Число дільників нуля у кільці  дорівнює (відповідно до теореми 2.2 п.2) різниці:

 

.

 

Ця формула включає також і нульову матрицю, тому число ненульових дільників нуля на 1 менше ніж у отриманій формулі, що і потрібно було довести.