Задача 1 составлена по теме «Однофакторная линейная регрессионная модель» и предполагает построение и анализ уравнения парной линейной регрессии.

Цель работы: проверка умения решать основные типы задач по парному регрессионному анализу.

Типы задач, включаемых в контрольную работу:

• оценка с помощью МНК параметров линейного регрессионного уравнения для прямой и обратной регрессий;
• экономическая интерпретация оценок параметров;
• система нормальных уравнений и ее решение;
• решение задач с использованием свойств оценок параметров;
• дисперсионный анализ;
• нахождение коэффициента детерминации;
• решение задач с использованием свойств коэффициента детерминации;
• построение доверительных интервалов оценок параметров;
• проверка гипотез о значимости оценок параметров;
• проверка адекватности регрессии;
• построение точечного прогноза по построенному линейному однофакторному уравнению регрессии;
• построение доверительных интервалов для прогнозных значений.

Для того чтобы приступить к выполнению задачи №1, определите причинную зависимость результативного признака (его вариации) от вариации факторного признак, т.е. определите, какой из данных показателей является фактором, а какой результатом.

Например. Расходы на питание — это переменная , а душевой доход — переменная . Здесь ясно, какой признак выступает как независимая переменная (фактор), а какой как зависимая переменная (результат).

Данные выборки. Табл. 1

№ группы	Расход на питание (руб.) ( )	Душевой доход (руб.) ( )
1	43	62
2	61	157
3	90	265
4	111	370
5	130	479
6	148	592
7	1 64	728
8	191	935
9	241	980

Пункт 1 первой задачи связан с использованием графического метода. Этот метод применяют для наглядного изображения формы связи между изучаемыми экономическими показателями. Для этого в прямоугольной системе координат строят график, по оси ординат откладывают индивидуальные значения результативного признака Y, а по оси абсцисс - индивидуальные значения факторного признака X. Совокупность точек результативного и факторного признаков называется полем корреляции (рис. 1).

На основании поля корреляции можно выдвинуть гипотезу (для генеральной совокупности) о том, что связь между всеми возможными значениями доходов X и расходами Y на питание носит линейный характер и имеет вид . Здесь e.- случайная ошибка (отклонение, возмущение).

Причины существования случайной ошибки:

§ Невключение в регрессионную модель значимых объясняющих переменных;

§ Агрегирование переменных. Например, функция суммарного потребления – это попытка общего выражения совокупности решений отдельных индивидов о расходах. Это лишь аппроксимация отдельных соотношений, которые имеют разные параметры.

§ Неправильное описание структуры модели;

§ Неправильная функциональная спецификация;

§ Ошибки измерения.

Так как отклонения e_i  для каждого конкретного наблюдения i – случайны и их значения в выборке неизвестны, то

1) по наблюдениям x_i и y_i можно получить только оценки параметров a и b;

2) Оценками параметров a и b регрессионной модели являются соответственно величины а и b, которые носят случайный характер, т.к. соответствуют случайной выборке;

Тогда оценочное уравнение регрессии (построенное по выборочным данным) будет иметь вид y_i =а + bx_i+ e_i, где e_i – наблюдаемые значения (оценки) ошибок e_i, , а и b соответственно оценки параметров a и b регрессионной модели, которые следует найти.

Рис. 1. Поле корреляции

Постройте поле корреляции и сделайте выводы о направлении и характере связи, выявите форму воздействия фактора X на результат Y.

В Пункте 2 необходимо найти оценки неизвестных параметров уравнения регрессии и дать им экономическую интерпретацию.

Для оценки параметров a и b - используют МНК (метод наименьших квадратов). Суть этого метода состоит в следующем.

Если имеется некоторая совокупность n точек наблюдений - выборочных данных, , то можно попытаться провести такую прямую линию, которая является наилучшей в определенном смысле среди всех прямых линий, то есть ближайшей к точкам наблюдений по их совокупности.

Обычно в качестве критерия близости используется минимум суммы квадратов разностей наблюдений зависимой переменной y_i и рассчитанных по уравнению регрессии значений :

Здесь y_i и x_i – известные данные наблюдений, a и b неизвестные коэффициенты линии регрессии. Поскольку функция Q непрерывна, выпукла и ограничена снизу нулем, она имеет минимум.

Требуется найти неизвестные коэффициенты a, b, которые минимизируют отклонение расчетных значений от наблюдаемых.

Минимум этого выражения достигается, когда частные производные функции Q по коэффициентам a, b равны нулю. Коэффициенты a, b найдем, решая систему уравнений вида

Проведя ряд преобразований, построим итоговую систему, которая носит название системы нормальных уравнений:

Суммирование ведется по n наблюдениям. В примере n=9.