Понятия о равенствах, неравенствах и уравнениях раскрыва­ются во взаимосвязи. Работа над ними ведется с I класса, ор­ганически сочетаясь с изучением арифметического материала.

Числовые равенства и неравенства учащиеся получают в ре­зультате сравнения заданных чисел или арифметических вы­ражений. Поэтому знаками «>», «<», «=» соединяются не лю­бые два числа, не любые два выражения, а лишь те, между которыми существуют указанные отношения. Два равных чис­ла или два выражения, имеющие равные значения, соединенные знаком «=», образуют равенство. Если одно число больше (меньше) другого или одно выражение имеет значение боль­ше (меньше), чем другое выражение, то, соединенные соответ­ствующим знаком, они образуют неравенство. Таким образом, первоначально у младших школьников формируются понятия только о верных равенствах и неравенствах.

Ознакомление с равенствами и неравенствами в начальных классах непосредственно связывается с изучением нумерации и арифметических действий.

Сравнение чисел осуществляется сначала на основе сравнения множеств, которое выполняется, как известно, с по­мощью установления взаимно однозначного соответствии. Этому способу сравнения учат детей в подготовительный период и в начале изучения нумерации чисел первого десятка. Попутно выполняется счет эле­ментов множеств и cpавнение полученных чисел (кругов 7, треугольников 4), кругов больше, чем треугольников, 7 боль­ше, чем 4). В дальнейшем при сравнении чисел учащиеся определяют их место в натуральном ряду: 9 меньше, чем 10, по­тому что при счёте число 9 называют перед числом 10 и т.д. Установленные отношения записываются с помощью знаков «>», « <», «=», учащиеся упражняются в чтении равенств и неравенств. Впоследствии при изучении нумерации чисел в пределах 100, 1000, нумерации многозначных чисел сравнение чисел ocyществляется на основе сопоставления их по месту в натуральном ряду, либо на основе разложения чисел по деся­тичному составу и сравнения соответствующих разрядных чисел, начиная с высшего разряда (75>48, так как 7 десятков больше, чем 4 десятка; 75>73, так как десятков поровну, а единиц в первом числе больше, чем во втором).

Сравнение величин сначала выполняется с опорой на сравнение самих предметов по данному свойству, а потом осу­ществляется на основе сравнения числовых значений величин, для чего заданные величины выражаются в одинаковых еди­ницах измерения. Сравнение величин вызывает трудности у уча­щихся, поэтому, чтобы научить этой операции, надо системати­чески в 1-4 классах предлагать разнообразные задания, например:

1) подберите равную величину: 7км 500м =… м, 3080 кг = … т … кг.

2) Подберите числовые значения величин так, чтобы запись была верной: … ч < … мин, … см =… дм … см. и др.

3) Вставьте наименования у величин так, чтобы запись была верной: 35 км =35 000 .... 16 мин >16 .... 17 т 5 ц=17500 ...

4) Проверьте, верные или неверные равенства даны, исправь­те знак, если равенства неверны: 4 т 8 ц=480 кг, 100 мин =1 ч, 2 м 5 см =250 см.

Подобные задания помогают детям усвоить не только понятия равных и неравных величин, но и отношения единиц из­мерения.

Переход к cpавнению выражений осуществляется постепен­но. Сначала в процессе изучения сложения и вычитания в пре­делах 10 дети длительное время упражняются в сравнении выражения и числа (числа и выражения). Первые нера­венства вида 3+1 >3, 3—1<З полезно получать из равенст­ва (3=3), сопровождая преобразования соответствующими опе­рациями над множествами. Например, на классном наборном полотне и па партах отложено 3 треугольника и 3 круга и записано: 3 = 3. Учитель предлагает детям придвинуть к 3 тре­угольникам еще 1 треугольник и записать это (3+1—запись под треугольниками). Число кругов не уменьшилось (3). Уча­щиеся сравнивают число треугольников и кругов и убежда­ются, что треугольников больше, чем кругов (4>3), значит, можно записать: 3+1>3 (три плюс один больше, чем три). Аналогичная работа ведется над неравенством 3-1<З (три минус один меньше, чем три).

В дальнейшем выражение и число (число и выражение) учащиеся сравнивают, не прибегая к операциям над множест­вами; находят значение выражения и сравнивают его с задан­ным числом, что отражается в записях:

5+3>5 2<7-4 7=4+3

8>5 2<3 7=7

После знакомства с названиями выражений учащиеся чита­ют равенства и неравенства так: сумма чисел 5 и 3 больше, чем число 5; число 2 меньше, чем разность чисел 7 и 4, и т. п.

Опираясь на операции над множествами и сравнение мно­жеств, учащиеся практически усваивают важнейшие свойства равенств и неравенств (если а = b, то b=a; если а>b, то b<а).

Дети видят, что если кругов и треугольников поровну, то можно сказать, что кругов столько, сколько тре­угольников (3+2=5), а также треугольников столько, сколько кругов (5=3+2). Если же предметов не поровну, то одних больше (3+1>3), а других меньше (3<3+1).

В дальнейшем при изучении действий в пределах 100, 1000 и 1000000 упражнения на сравнение выражения и числа даются на новом числовом материале, и увеличивается количество чи­сел и знаков действий в выражениях.

Сравнивая неоднократно специально подобранные выраже­ния и числа, например: 17+0 и 17, 19-0 и 19, 7-1 и 7, 0:5 и 0, с+1 и с, с: 1 и с и т. п., учащиеся накапливают наблюдения об особых случаях действий, глубже осознают конкретный смысл действий. Упражнения на сравнение выражений и числа закрепляют умения читать выражения и способствуют формированию вычислительных навыков.

Сравнить выражения - значит, сравнить их зна­чения. Сравнение выражений впервые включается уже в конце изучения сложения и вычитания в пределах 10, а затем при изу­чении действий во всех концентрах эти задания системати­чески предлагаются учащимся. Например, надо сравнить сум­мы: 6+4 и 6+3. Ученик рассуждает так: первая сумма рав­на 10, вторая - 9, 10 больше, чем 9, значит, сумма чисел 6 и 4 больше, чем сумма чисел 6 и 3. Это рассуждение отражается в записях:

6+4>6+3 7-5<7- 3 4+4=10-2

10>9 2<1 8=8

При изучении действий в других концентрах задания на сравнение выражений усложняются: более сложными становят­ся выражения, учащимся предлагаются задания вставить в одно из выражений подходящее число так, чтобы получить верные равенства или неравенства; проверить, верные ли равенства (неравенства) даны, неверные исправить, изменить знак отношения или число в одном из выражений; составить из данных выражений верные равенства или верные неравенства. Сами выражения подбираются таким образом, чтобы, сравнивая вы­ражения, учащиеся наблюдали свойства и зависимости между компонентами и результатами действий. Например, после того как установили с помощью вычислений, что сумма 60+40 боль­ше суммы 60+30, учитель предлагает сравнивать соответствующие слагаемые этих сумм, и дети отмечают, что первые сла­гаемые в этих суммах одинаковые, а второе слагаемое в первой сумме больше, чем во второй. Много раз подмечая эту зави­симость, учащиеся приходят к обобщению и затем свои знания используют при сравнении выражений.

Таким образом, при изучении всех концентров задания на сравнение чисел и выражений, с одной стороны, способст­вуют формированию понятий о равенствах и неравенствах, а с другой стороны, усвоению знаний о нумерации и арифмети­ческих действиях, а также формированию вычислительных на­выков [1].