Оптимизационные задачи (ОЗ) решаются с помощью оптимизационных моделей (ОМ) методами математического программирования.

Структура оптимизационной модели состоит из целевой функции, области допустимых решений и системы ограничений, определяющими эту область. Целевая функция в самом общем виде в свою очередь также состоит из трех элементов:

управляемых переменных; неуправляемых переменных; формы функции (вида зависимости между ними).

Область допустимых решений – это область, в пределах которой осуществляется выбор решений. В экономических задачах она ограничена наличными ресурсами, условиями, которые записываются в виде системы ограничений, состоящей из уравнений и неравенств.

Если система ограничений несовместима, то область допустимых решений является пустой. Ограничения подразделяются на:

а) линейные (I и II) и нелинейные (III и IV) (рис.3.1.);

Линейные и нелинейные ограничения

б) детерминированные (А,В) и стохастические (группы кривых ) (рис.3.2.).

Стохастические ограничения являются возможными, вероятностные, случайными.

Оптимизационные задачи решаются методами математического программирования, которые подразделяются на:

линейное программирование; нелинейное программирование; динамическое программирование; целочисленное программирование; выпуклое программирование; исследование операций; геометрическое программирование и др.

Главная задача математического программирования – это нахождение экстремума функций при ограничениях в форме уравнений и неравенств.

Рассмотрим оптимизационные задачи, решаемые методами линейного программирования.

Оптимизационные задачи с линейной зависимостью между переменными

Пусть:

- количество ресурса вида i (i=1,2,...,m);

- норма расхода i – го ресурса на единицу j – го вида продукции;

- количество продукции вида j (j=1,2,...,n);

- прибыль (доход) от единицы этой продукции (в задачах на минимум – себестоимость продукции).

Тогда оптимизационные задачи линейного программирования (ЛП) в общем виде может быть сформулирована и записана следующим образом:

Найти переменные , при которых целевая функция

,

была бы максимальной (минимальной), не нарушая следующих ограничений:

,

,

.

Вcе три случая можно привести к так называемой канонической форме, введя дополнительные переменные:

,

k – количество дополнительных переменных, и условие неотрицательности искомых переменных:

.

В результате решения задачи находится некий план (программа) работы некоторого предприятия. Отсюда и появилось слово «программирование». Слово линейное указывает на линейный характер зависимости как в целевой функции, так и в системе ограничений. Следует еще раз подчеркнуть, что задача обязательно носит экстремальный характер, т.е. состоит в отыскании максимума или минимума (экстремума) целевой функции.

4 Сызықтық модельдің шешімінің нәтижесі бойынша қанша есеп беріледі және оларда қандай көрсеткіштер алынады ?