Запишим уравнение неразрывности или сплошности потока
, (2)
где m – массовый расход газа, кг/с.
Преобразуем (2)
. (3)
При дифференцировании получаем
. (4)
Разделив обе части (4) на (3) имеем
. (5)
В рассматриваемом случае (адиабатное изменение состояния газа при его течении) отношение 
может быть получено из уравнения адиабаты
. (6)
Поделив уравнение (1) на W 2, получим
. (7)
Совместное решение (5), (6) и (7) дает
. (8)
Скорость звука в среде определяется соотношением
. (9)
В настоящее время при анализе течения газа широко используется число или критерий Маха, представляющий собой отношение скорости потока к скорости звука в том же сечении
.
Если разделить числитель и знаменатель в круглых скобках выражения (8) на а2, то получим
. (10.1)
Используя (6) получим
. (10.2)
Используя (7) получим
. (10.3)
С использованием температуры
. (10.4)
Совокупность выражений (10.1), (10.2), (10.3) и (10.4) является аналитическим выражением закона геометрического обращения воздействия.
Этот закон устанавливает взаимосвязь между геометрией канала (f), параметрами рабочего тела (p, v, T), скоростью потока (W) и режимом течения (M).
Определение скорости потока на выходе из канала
Определение скорости потока можно осуществить путем интегрирования уравнения (1) в пределах от входного до выходного сечения канала.
Проинтегрируем уравнение (1)
или
. (11)
Решением интеграла в левой части уравнения (11) оказывается возможным, если известна зависимость 
. В общем случае можно признать, что изменение состояния газа в процессе течения происходит по закону политропы, т.е.
.
В случае адиабатного течения
. (12)
Подставляя значение v из (12) в (11) и производя интегрирование, получим
. (13)
Уравнение (13) определяет приобретенный газом запас кинетической энергии, который может быть превращен в работу на колесе турбомашины. Поэтому величину, стоящую в левой части уравнения иначе называют располагаемой работой газового потока.
Располагаемая работа – это потенциальная энергия газа, которая может быть преобразована в кинетическую энергию потока при расширении его от давления р1 до р2.
Если принять 
, то из уравнения (13) следует, что скорость на выходе из канала будет равна
. (14)
Массовый секундный расход газа
Массовый секундный расход газа может быть найден с помощью уравнения (2), в которое необходимо подставить площадь рассматриваемого поперечного сечения канала и соответствующие ему значения v и W.
Если , то W подсчитывается по уравнению (14), а удельный объем выражается через его значение в сечении 1-1. Тогда для случая адиабатного течения получим
(15)
Анализ соплового течения газа через
Суживающееся сопло
Анализ уравнения (15) позволяет перейти к выводу о том, что при заданных 
, 
и 
(область существования устойчивых равновесных состояний) величина массового секундного расхода зависит от значения выражения, взятого в квадратные скобки. Легко видеть, что при 
(рис. 2) 
. При 
расход газа за счет увеличения расширения газа на участке 1-1 2-2 растет. Однако, при 
m снова становится равным нулю. Поскольку функция (15), будучи непрерывной, дважды проходит через ноль, то должен существовать максимум массового секундного расхода (рис. 3).
Величина соотношения 
, отвечающая 
найдется, если взять первую производную от выражения в квадратных скобках уравнения (15) и приравнять ее нулю.
В результате получаем, что для адиабатного процесса изменения состояния критический перепад давлений равен
. (16)
Естественно, что при подстановке в уравнение (15) вместо 
критического перепада давлений мы получим максимальную величину массового секундного расхода. Например, для адиабатного течения, которое чаще всего рассматривается в технических приложениях, имеем
. (17)
При дальнейшем уменьшении давления, в окружающей среде 
расход остается постоянным, равным . Это явление получило название "кризис течения".
Скорость течения газа при 
также остается постоянной. Эта скорость называется критической скоростью течения 
. Уравнение для определения 
может быть получено, если в (14) вместо 
ввести критический перепад давлений 
. (18)
Разберем физическую картину процесса. По мере движения газа по каналу происходит его расширение, при котором уменьшается 
и 
.
Снижение 
приводит к уменьшению местной скорости звука (9), а скорость потока возрастает. В выходном сечении канала скорость звука в соответствии с (9) будет равна
. (19)
При кризисе течения скорость потока в выходном сечении определяется (18). Введем в это уравнение вместо 
температуру Т. Для адиабатного процесса при 
или
.
Таким образом, при достижении критического перепада давлений на выходе из суживающегося сопла скорость потока достигает местной скорости звука. Между тем, давление распространяется тоже со скоростью звука. В результате, уменьшение в окружающей среде давления ниже 
не может подойти к устью сопла, и в последнем устанавливается постоянное давление, равное 
(19). Этим объясняется тот факт, что при 
и
.
Сопло Лаваля
Проведенный анализ касался течения газа через суживающееся сопло. Из него не следует делать вывод о том, что вообще не возможно, например, при адиабатном течении получить скорость потока выше звуковой.
Как следует из уравнения (10.1), для перехода в область сверхзвуковых скоростей необходимо иметь расширяющийся канал. Следовательно, дополняя суживающийса канал, где газ достигает критической скорости, расширяющимся, мы предоставляем газу возможность продолжить свое расширение и приобрести сверхзвуковую скорость. Такое комбинированное сопло называется соплом Лаваля (рис. 4).
Сопло Лаваля целесообразно применять лишь при 
. Скорость истечения, например, при адиабатном течении определится с помощью уравнения (14). Расход определится по минимальному сечению, где имеет место кризис течения. Для этого используется уравнение для определения , в которое следует подставлять вместо f минимальное сечение сопла fmin.
ЛЕКЦИЯ 7
РЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ
В ряде случаев приходится иметь дело с системами, состояние которых не позволяет использовать модель идеального газа. В качестве примера можно назвать водяной пар в тех состояниях, при которых он используется в паросиловых установках.
Здесь приходится принимать во внимание, что молекулы имеют определенные размеры и между ними существуют силы взаимодействия: притяжение при сравнительно больших расстояниях между молекулами и отталкивание при сближении молекул на малые расстояния.
Модель реального газа представляется в виде твердых шариков диаметром d0, взаимно притягивающихся друг к другу.
Как видно, модель реального газа отличается от модели идеального газа, во-первых, тем, что сами молекулы имеют некоторый объем, во-вторых, наличием сил межмолекулярного сцепления.
В общем случае, это приводит к тому, что в отличие от идеального газа
и при T = const
.
Дата: 2019-02-02, просмотров: 278.
