Во многих практических задачах модель закона распределения заранее неизвестна, поэтом возникает вопрос выбора модели, согласующейся с результатами наблюдения надс.в.
Предположим, что неизвестная функция распределения с.в.
имеет определенную модель
, то есть сформулируем гипотезу
. Тогда в качестве альтернативной выдвинем гипотезу
. Требуется сделать вывод: согласуются ли данные наблюдений с высказанным предположением?
Определение 24.Критерием согласия называется критерий, с помощью которого проверяется гипотеза о предполагаемом виде закона распределения (о согласовании предполагаемого вида распределения с опытными данными на основании выборки).
Критерий Пирсона
Для проверки гипотезы поступим следующим образом. Разобъем всю область значений с.в.
на
интервалов
и подсчитаем вероятности
попадания с.в.
в интервал
по формуле
![]() | (26) |
Тогда теоретическое число значений с.в. X, попавших в интервал , можно вычислить по формуле
![]() | (27) |
Таким образом, получим вариационный ряд распределения и теоретический ряд распределения. Если эмпирические частоты сильно отличаются от теоретических, то проверяемую гипотезу отвергаем, в противном случае – принимаем ее.
В качестве критерия, характеризующего степень расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами, К.Пирсон предложил статистику
![]() | (28) |
При эта величина имеет
– распределение с
степенями свободы, где
– число интервалов выборки,
– число параметров предполагаемого распределения. Например, в случае нормального распределения оценивают два параметра
и
, поэтому
.
Схема применения критерия Пирсона сводится к следующему:
1. По формуле (41) вычисляем – выборочное значение статистики критерия.
2. Задав уровень значимости критерия, по таблице
– распределения находим критическую точку (квантиль)
.
3. Если , то гипотеза
не противоречит данным наблюдений; в противном случае если
, гипотезу
отвергаем.
Необходимым условием применения критерия Пирсона является выполнение соотношения
. Если для какой-то группы выборки оно не выполняется, такую группу объединяют с соседней и соответственно уменьшают число групп.
Критерий Колмогорова
Критерий Колмогорова является наиболее простым критерием проверки гипотезы о модели закона распределения. Он связывает эмпирическую функцию распределения с функцией распределения
непрерывной с.в.
.
Рассмотрим – конкретную выборку из распределения с неизвестной функцией распределения
. Пусть
–эмпирическая функция распределения. Сформулируем простую гипотезу
:
, в качестве альтернативной выдвинем гипотезу
:
.
Согласно критерию Колмогорова вводится в рассмотрение функция
![]() | (29) |
Эта функция называется статистикой Колмогорова и представляет собой максимальное отклонение эмпирической функции распределения от гипотетической (теоретической) функции распределения
.
Колмогоров доказал, что при закон распределения с.в.
стремится к закону распределенияКолмогорова независимо от вида распределения с.в.
, то есть
![]() | (30) |
где – функция распределенияКолмогорова. Для нее составлена таблица значений, которой можно пользоваться при
:
![]() | 0,1 | 0,05 | 0,02 | 0,01 | 0,001 |
![]() | 1,224 | 1,358 | 1,520 | 1,627 | 1,950 |
Найдем такое значение , при котором выполняется равенство
![]() | (31) |
Рассмотрим уравнение
![]() | (32) |
С помощью функции распределенияКолмогорова найдем корень этого уравнения, тогда
![]() | (33) |
Следовательно, вероятность
![]() | (34) |
Таким образом,
![]() | (35) |
Если , то гипотеза
принимается, в противном случае гипотеза
отвергается.
Дата: 2019-02-02, просмотров: 564.