Лекции по математической статистике
Поможем в ✍️ написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Лекции по математической статистике

 

Лекция 1

Полигон и гистограмма

Наблюдаемые данные, представленные в виде вариационного ряда, можно изобразить графически с помощью полигона и гистограммы. Это позволяет получить наглядное представление о закономерности варьирования наблюдаемых значений с.в. X.

Определение 11.Полигоном частот(относительных частот) называется ломаная, отрезки которой соединяют точки с координатами ; ;…;  (с координатами ; ; … ; ).

Определение 12.Гистограммой частот (относительных частот) называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых являются частичные интервалы длиной , а высоты равны частотам (относительным частотам) соответствующих интервалов.

Пример 3. Для оценивания знаний студентов-первокурсников проведена контрольная работа по высшей математике. Результаты контроля в выбранной группе из 25 студентов оказались следующими: 3 студента выполнили работу на «5», 10 студентов – на «4», 9 студентов – на «3» и 3 студента – на «2». Построить полигон частот и эмпирическую функцию распределения.

xk 2 3 4 5
nk 3 9 10 3

Решение. Объём выборки n=25. Представим исходные данные в виде дискретного вариационного ряда:

 

Построим полигон частот:       
Согласно формуле (16)эмпирическая функция распределения

   □

 

Лекция 2

 

Лекция 3

Интервальные оценки параметров распределения

Точечные оценки неизвестного параметра q хороши в качестве первоначальных результатов обработки наблюдений. Их недостаток состоит в том, что неизвестна точность  оценивания параметра. Поэтому и возникает задача о приближении параметра q не одним числом, а целым интервалом. Разумеется, чемменьше длина этого интервала, тем точнее оценка параметра. Поэтому, если для оценки  некоторого параметра q справедливо неравенство , то число  характеризует точность оценки. Но статистические методы позволяют говорить только о том, что это неравенство выполняется с некоторой вероятностью.

Определение 24.Надёжностью (доверительной вероятностью) оценки  параметра q называется вероятность g того, что выполняется неравенство .

Если заменить это неравенство двойным неравенством , то получим, что надёжность определяется как

. (14)

Определение 25.Доверительным называется интервал, в который попадает неизвестный параметр с заданной надёжностью g.

Иными словами, доверительный интервал  покрывает неизвестный параметр q с заданной надёжностью . Выбор величины доверительной вероятности зависит от постановки задачи.Чаще всего берутся значения g=0,9;0,95;0,99;0,997.

 

Лекция 4

 

Критерий Колмогорова

 

Критерий Колмогорова является наиболее простым критерием проверки гипотезы о модели закона распределения. Он связывает эмпирическую функцию распределения  с функцией распределения  непрерывной с.в. .

Рассмотрим – конкретную выборку из распределения с неизвестной функцией распределения . Пусть –эмпирическая функция распределения. Сформулируем простую гипотезу : , в качестве альтернативной выдвинем гипотезу : .

Согласно критерию Колмогорова вводится в рассмотрение функция

(29)

Эта функция называется статистикой Колмогорова и представляет собой максимальное отклонение эмпирической функции распределения  от гипотетической (теоретической) функции распределения .

Колмогоров доказал, что при  закон распределения с.в.  стремится к закону распределенияКолмогорова независимо от вида распределения с.в. , то есть

(30)

где – функция распределенияКолмогорова. Для нее составлена таблица значений, которой можно пользоваться при :

 

0,1 0,05 0,02 0,01 0,001
1,224 1,358 1,520 1,627 1,950

 

Найдем такое значение , при котором выполняется равенство

(31)

 

Рассмотрим уравнение 

(32)

С помощью функции распределенияКолмогорова найдем корень  этого уравнения, тогда

(33)

Следовательно, вероятность

(34)

Таким образом,

(35)

 Если , то гипотеза  принимается, в противном случае гипотеза  отвергается.

 

 

Лекции по математической статистике

 

Лекция 1

Дата: 2019-02-02, просмотров: 230.