К основным уравнениям гидродинамики относятся:

а) уравнение неразрывности (сплошности) потока (см. уравнение (1.28))

.

Из данного уравнения легко получить уравнение расхода. В случае однонаправленного (w_y = w_z = 0) установившегося движения ( ) несжимаемой жидкости уравнение расхода в интегральной форме принимает вид: w ρS = const;

б) уравнения Навье-Стокса (см. уравнение 1.60):

;

;

.

Система уравнений Навье-Стокса – один из важнейших законов сохранения количества движения. Его формулировка: Производная по времени от проекции количества движения системы на ось координат является суммой проекций на данную ось действующих на систему сил.

Частные случаи уравнения Навье-Стокса следующие.

1) Жидкость находится в относительном покое (w_x = w_y = w_z = 0) – получим дифференциальные уравнения равновесия Эйлера

; ; .

(2.24)

Проинтегрируем уравнение (2.24) и получим основное уравнение гидростатики:

.

(2.25)

2) Движение идеальной жидкости ( ):

; ; .

(2.26)

Уравнения (2.26) являются дифференциальными уравнениями движения Эйлера.

При интегрировании уравнения (2.26) получаем уравнение Бернулли для идеальной жидкости:

,

(2.27)

где z – нивелирная высота, или геометрический напор – это положе-ние данной частицы жидкости относительно произвольно выбранной горизонтальной плоскости сравнения. Энергетический смысл: удельная потенциальная энергия положения;

        – статический, или пьезометрический, напор – давление столба жидкости над рассматриваемым уровнем. Энергетический смысл: удельная потенциальная энергия давления;

       – скоростной, или динамический, напор. Энергетический смысл: удельная кинетическая энергия в данном сечении потока;

       H – полный напор, или энергия жидкости, выраженная в метрах.

Для любого сечения или точки потока при установившемся движении идеальной жидкости сумма потенциальной ( ) и кинетической ( ) энергии жидкостей остается величиной постоянной. Таким образом, уравнение Бернулли выражает частный случай закона сохранения энергии.

Физический смысл уравнения Бернулли: в любом поперечном сечении потока идеальной жидкости полная удельная энергия жидкости постоянна и равна H.

Уравнение Бернулли для реальной жидкости выглядит иначе. Рассмотрим прямой участок трубопровода постоянного сечения (см. рисунок 2.13).

В случае идеальной жидкости E₁ = E₂, так как отсутствуют силы трения.

В случае реальной жидкости E₁ > E₂, так как частицы жидкости встречают сопротивление, вызванное силами вязкости и различными препятствиями.

Рисунок 2.13 – К уравнению Бернулли для реальной жидкости

Таким образом, уравнение Бернулли для реальной жидкости:

,

(2.28)

где  – величина гидравлического сопротивления или энергия, затрачиваемая на преодоление гидравлического сопротивления. Ее еще называют «потерянный напор».

То есть энергия движущейся жидкости расходуется на преодоление сопротивлений и превращается в тепло. Это тепло идет на нагревание потока и рассеивается в окружающую среду. Поэтому во всяком последующем положении или сечении потока энергия частицы будет меньше, чем в предыдущем.

Для жидкости, текущей по горизонтальному трубопроводу постоянного сечения с постоянной скоростью, потерянный напор рассчитывается по формуле:

.

(2.29)

С помощью уравнения Бернулли можно определить необходимый напор (или давление) для того, чтобы жидкость с заданной скоростью транспортировалась по данному каналу (трубопроводу), а также скорость и расход жидкости, время истечения жидкости из отверстия в резервуаре.

2.4.3 Гидравлическое сопротивление трубопроводов
и аппаратов

Для определения движущей силы гидродинамических процесссов необходимо знать потерянный напор h_n (2.29), который складывается из потерь напора на трение h _тр и на преодоление так называемых местных сопротивлений h _мс:

Причиной потерь на трение является вязкость жидкости. Потери на трение рассчитывают по формуле:

,

(2.31)

где l – длина трубопровода, м;

      d _э – эквивалентный диаметр трубопровода, м;

      w – средняя скорость, м;

       – коэффициент потерь на трение.

Коэффициент потерь на трение зависит от числа Рейнольдса и шероховатости трубы.

При ламинарном режиме 

ΔР ~w и =64/Re.

(2.32)

При турбулентном режиме выделяют три области:

1) область гидравлически гладких труб 2300<Re<10/ε (где ε – относительная шероховатость)

ΔР ~w 1,75 и ;

(2.33)

2) область смешанного трения 10/ ε <Re<560/ε

ΔР ~ w1,75 ÷ 2 и ;

(2.34)

3) автомодельная область или область квадратичного сопротивления Re>560/ε

ΔР ~ w2 и .

(2.35)

Коэффициент сопротивления трения , тогда величина потерь на трение будет равна:

.

(2.36)

Потери напора на преодоление местных сопротивлений возникают при движении жидкости через сужения и расширения в трубопроводах, через краны, задвижки и другие местные сопротивления. Местные сопротивления – это такие вставки трубопровода, которые изменяют поток по направлению, по величине, по величине и направлению одновременно (рисунок 2.14).

Потери напора на преодоление местных сопротивлений h _мс, также как и h _тр , выражаются через скоростной напор :

,

(2.37)

где  - коэффициент местного сопротивления.

Коэффициент местного сопротивления зависит от числа Рейнольдса и вида сопротивления и является справочной величиной.

Общий потерянный напор можно рассчитать как сумму потерь на трение и на преодоление местных сопротивлений:

.

(2.38)

а                                                  б                               в                                                 г                               д                                                 е а – внезапное расширение; б – внезапное сужение; в – плавное расширение; г – плавное сужение; д – поворот трубы без закругления; е – поворот трубы с закруглением   Рисунок 2.14 – Местные сопротивления

Потеря давления:

.

(2.39)

1

1