Скалярное произведение
Из двух векторов 
и 
можно образовать скаляр по правилу:
Это выражение называется скалярным произведением векторов и 
и обозначается одним из символов 
, или 
.
Следовательно, 
. 
= 
.
По определению скалярное произведение обладает следующими свойствами:
1) 
,
2) 
,
3) 
Векторное произведение
Из двух векторов 
и 
можно образовать новый вектор:
, где
Модуль нового результирующего вектора находим по формуле:
.
Эта операция называется векторным произведением векторов 
и 
и обозначается одним из символов 
или 
.
Также общеизвестна формула
,
где 
- угол между векторами и 
.
Направление вектора 
можно найти, используя следующий прием. Мысленно совмещаем продольную ось буравчика (правого винта, штопора) с перпендикуляром к плоскости, в которой лежат перемножаемые векторы (в данном примере – векторы и ). Затем начинаем вращать головку винта (ручку штопора) по направлению кратчайшего поворота от первого сомножителя ко второму, то есть от вектора к вектору . Направление движения тела винта и будет являться направлением вектора . Этот прием называется правилом правого винта или правилом буравчика (см. рис.).
В терминах векторного произведения выражаются момент силы, момент импульса и др. Говоря о векторе, всегда имеем ввиду его компоненты. Вектор, в отличие от скаляра, определяется тремя числами. Поэтому такие операции как сложение, вычитание, скалярное и векторное произведения сводятся к привычным действиям с компонентами.
Производная и интеграл
Производная и ее применения
Пусть функция у= f (х) определена в точках х и х1 .Разность х1 - х называется приращением аргумента, а разность f (х1) - f (х) - приращением функции при переходе от значения аргумента х к значению аргумента х1. Приращение аргумента обозначают 
, приращение функции обозначают 
или 
.
Если существует предел отношения приращения функции 
к приращению аргумента при условии, что 
, то функция у= f (х) называется дифференцируемой в точке х, а этот предел называется значением производной функции у= f (х) в точке х и обозначается 
или 
.
Операцию отыскания производной называют дифференцированием.
C писок производных простейших элементарных функций
1. 
2. 
, а – любое число
3. 
, в частности 
4. 
, в частности, при 
: 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
Если функции 
и 
дифференцируемы в точке х, то:
- Их сумма дифференцируема в точке х и 
(теорема о дифференцировании суммы);
- Произведение функций и дифференцируемо в точке х и 
(теорема о дифференцировании произведения);
- Частное функций и дифференцируемо в точке х, если 
, и 
(теорема о дифференцировании частного).
Первообразная и интеграл
Пусть на интервале (а, b) задана непрерывная функция f (х). По определению функция F (х) называется первообразной функцией для f (х) на интервале (а, b), если на нем производная от F (х) равна f (х):
Очевидно, что если функция 
- первообразная для f (х) на (а, b), а С – некоторая постоянная, то функция 
есть также первообразная для f (х), потому, что
Если F (х) какая-либо первообразная от f (х) на интервале (а, b), то возможные первообразные от f (х) на этом интервале выражаются формулой 
, где вместо С можно подставить любое число.
Неопределенным интегралом от непрерывной функции f (х) на интервале (а, b) называется произвольная ее первообразная функция. Неопределенный интеграл обозначается так:
.
Если 
, 
– непрерывные на интервале (а, b) функции и 
, и 
– постоянные, то имеет место следующее равенство, выражающее основное свойство неопределенного интеграла:
,
где С – некоторая постоянная.
Список основных неопределенных интегралов
1. 
;
2. 
;
3. 
;
4. 
;
5. 
;
6. 
;
7. 
;
8. 
9. 
10. 
;
11. 
12. 
;
13. 
;
14. 
3.Задания для контрольной работы по дисциплине
«Введениие в физику»
Основы векторной алгебры
1-1. Найдите
а) модуль суммы 
б) разности 
двух векторов 
и 
.
в) скалярное произведение векторов 
. 
г) косинус угла между векторами и
д) векторное произведение 
двух векторов и
Решить задачу графически и аналитически.
1-2. Найдите
а) модуль суммы
б) разности двух векторов и .
в) скалярное произведение векторов .
г) косинус угла между векторами и
д) векторное произведение двух векторов и
Решить задачу графически и аналитически.
1-3. Найдите
а) модуль суммы
б) разности двух векторов и .
в) скалярное произведение векторов .
г) косинус угла между векторами и
д) векторное произведение двух векторов и
Решить задачу графически и аналитически.
1-4. Найдите
а) модуль суммы
б) разности двух векторов и .
в) скалярное произведение векторов .
г) косинус угла между векторами и
д) векторное произведение двух векторов и
Решить задачу графически и аналитически.
1-5. Найдите
а) модуль суммы
б) разности двух векторов и .
в) скалярное произведение векторов .
г) косинус угла между векторами и
д) векторное произведение двух векторов и
Решить задачу графически и аналитически.
1-6. Найдите
а) модуль суммы
б) разности двух векторов и .
в) скалярное произведение векторов .
г) косинус угла между векторами и
д) векторное произведение двух векторов и
Решить задачу графически и аналитически.
1-7. Найдите
а) модуль суммы
б) разности двух векторов и .
в) скалярное произведение векторов .
г) косинус угла между векторами и
д) векторное произведение двух векторов и
Решить задачу графически и аналитически.
1-8. Найдите
а) модуль суммы
б) разности двух векторов 
и .
в) скалярное произведение векторов .
г) косинус угла между векторами и
д) векторное произведение двух векторов и
Решить задачу графически и аналитически.
1-9. Найдите
а) модуль суммы
б) разности двух векторов и .
в) скалярное произведение векторов .
г) косинус угла между векторами и
д) векторное произведение двух векторов и
Решить задачу графически и аналитически.
1-10. Найдите
а) модуль суммы
б) разности двух векторов и .
в) скалярное произведение векторов 
.
г) косинус угла между векторами и
д) векторное произведение двух векторов 
и
Решить задачу графически и аналитически.
Прямая задача кинематики
Дата: 2018-12-28, просмотров: 423.
