ИДЕАЛИЗАЦИЯ – мысленное конструирование понятий об объектах, не существующих и не осуществимых в действительности, но таких, для которых имеются прообразы в реальном мире.

Идеализа́ция в обыденном смысле — это понятие, означающее представление о чём-либо (или о ком-либо) в более совершенном виде, чем это есть на самом деле[1]. В науке этот термин используется в несколько отличном смысле: как один из методов познания, а именно — как далеко зашедшее абстрагирование[2]. Идеализация в творческой деятельностичеловека способствует выходу за рамки обыденного мышления и более глубокому постижению реальности.

Под идеализацией понимается образование новых понятий, которые наделены не только свойствами, отвлеченными от их реальных прообразов, но и воображаемыми свойствами, отсутствующими у исходных объектов. Это делается для того, чтобы посредством изучения идеализированных образов облегчить в конечном счете изучение их реальных прообразов. Как уже отмечалось выше, такой метод моделирования применяется и в других науках (например, при замене физического маятника математическим).

Абстракция потенциальной осуществимости приводит к абстракции потенциальной бесконечности. Натуральный ряд чисел мыслится потенциально бесконечным. С этой точки зрения процесс его построения незавершим, предполагается лишь, что после каждого шага процесса мы располагаем возможностями для осуществления следующего шага.

Перечислим важнейшие особенности математической абстракции, отличающие процесс абстрагирования в математике от аналогичного процесса в иных науках:

а) По сравнению с естествознанием процесс абстрагирования в математике идет значительно дальше. В известном смысле слова можно сказать, что там, где естествознание останавливается, б) Абстрагирование в математике чаще всего выступает как многоступенчатый процесс. Поэтому в математике весьма часто встречаются абстракции от абстракций.

в) Во всей истории математики можно выделить три больших этапа в развитии ее абстракций: на первом этапе отвлекаются от конкретной, качественной природы объектов, на втором стали отвлекаться от конкретных чисел и величин, на третьем этапе, связанном с переходом к современной математике, стали отвлекаться не только от конкретной природы объектов, но и от конкретного смысла отношений между ними.

г) В математической абстракции широко используются идеальные объекты.

д) Многие системы абстракций в математике, возникнув на базе опыта или даже в процессе чисто логического развития теории, не требуют в дальнейшем обращения к опыту.

Математические абстракции являются важным моментом в познании действительности. Как уже отмечалось выше, широкое использование в математике абстрактных понятий приводит к использованию для их изучения особых методов познания. Одним из важнейших методов познания в математике является аксиоматический метод.

Наиболее распространенными видами абстракций в математике являются: абстракция отождествления (обобщающая), идеализация и различные абстракции осуществимости.

Основные особенности абстракции отождествления хорошо видны на описанном выше процессе формирования понятия числа. Такая абстракция начинается с установления отношения эквивалентности в исследуемом множестве объектов. При установлении отношения эквивалентности в каком-нибудь множестве эквивалентные объекты отождествляются по какому-нибудь свойству, которое абстрагируется от остальных свойств этих объектов и становится самостоятельным абстрактным понят находящимся на более высокой ступени абстракции, чем объекты, от которых оно было абстрагировано.

Так, отношение равночисленности множеств объединяет в один класс все конечные множества, между которыми можно установить биективное соответствие. В результате этого отождествления от множеств, принадлежащих одному и тому же классу эквивалентности, абстрагируется их общее свойство, характеризующее этот класс, присущее всем множествам этого класса и не присущее никаким иным множествам. Это свойство и является самостоятельным понятием натурального числа, выражающего численность множеств данного класса.

Поскольку при абстракции описанного вида множества, предметы • и т. п. отождествляются по определенному свойству или набору свойств, общему для всех объектов, принадлежащих одному и тому же классу эквивалентности, такая абстракция получила название абстракции отождествления. Абстракция отождествления применяется не только в математике, но и в других науках при создании общих понятий.