Обработка экспериментальных данных. Нелинейная регрессия

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Построение нелинейной регрессии с использованием команды «Добавить линию тренда»

Решение: Команда «Добавить линию тренда» используется для выделения тренда (медленных изменений) при анализе временных рядов. Однако эту команду можно использовать и для построения уравнения нелинейной регрессии, рассматривая в качестве времени независимую переменную .

Эта команда позволяет построить следующие уравнения регрессии:

· линейную

· полиноминальную ( );

· логарифмическую

· степенную ;

· экспоненциальную .

Для построения одной из перечисленных регрессий необходимо выполнить следующие шаги:

- В выбранном листе Excel ввести по столбцам исходные данные

- По этим данным построить точечный график в декартовый системе координат

- Установить курсор на построенном графике, сделать щелчок правой кнопкой и в появившемся контекстном меню выполнить команду Добавить линию тренда.

- В появившемся диалоговом окне активизировать закладку «Тип» и выбрать нужное уравнение регрессии.

- Активизировать закладку «Параметры» и «включить» необходимые для нас опции:

Ö «Показать уравнение на диаграмме» - на диаграмме будет показано выбранное уравнение регрессии с вычисленным коэффициентами;

Ö «Поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации ( R ^2)» - на диаграмме будет показана значение коэффициент детерминации (для нелинейной регрессии -индекс детерминации). Если по построенному уравнению регрессии необходимо выполнить прогноз, то нужно указать число периодов прогноза.

После задания всех перечисленных опций щелкнуть на кнопке «OK» и на диаграмме появиться формула построенного уравнения регрессии и значение индекса детерминации .

Сравните результаты полученные на графиках линий тренда с расчетными

Например, для логарифмической модели получим следующий результат (Рисунок 2 ).

Рисунок 2 – Построение линии тренда для логарифмической модели.

Расчет параметров для экспоненциальной и логарифмической моделей можно выполнить самостоятельно.

Для построения уравнения экспоненциальной кривой у = а · е^b^х линеризуем переменные логарифмированием обеих частей уравнения:

ln у = ln а + b·x получим линейное уравнением Y = A + b·x

Где Y = ln y, A = ln a. После определения коэффициентов необходимо сделать обратную замену a=e^A.

Для логарифмической функции вида y=a+b·ln x вводится замена X=ln x. Дальнейшие вычисления аналогичны гиперболической функции.

Ниже в таблице 3 приведены сводные характеристики построенных моделей:

Таблица 3 - Сводные характеристики построенных моделей:

Параметры Модели	Уравнение	Коэффициент детерминации R²	Средняя относительная ошибка аппроксимации А
Линейная		0,8876	2,99%,
Гиперболическая		0,934	1,86%
Степенная	ŷ = 162,768 x^-0,575	0,931	2,02%.
Экспоненциальная	ŷ = 102,73e^-0,0938x	0,908	2,65%
Логарифмическая		0,921	2,35%

Коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного признака, находящегося под воздействием изучаемых факторов. Чем ближе R² к 1, тем выше качество модели. Из таблицы видно, что таким уравнением является гиперболическая функции.

При сравнении моделей по данным характеристикам мы видим, что наибольшее значение коэффициента детерминации R² и наименьшую ошибку аппроксимации имеет гиперболическая модель, следовательно, ее можно считать лучшей.

Для вычисления y в точке x=10 используем уравнение . Получим y=44,536.

В системе MathCAD существуют встроенные функции для вычисления коэффициентов а и b линейной зависимости y = ax + b:

- slope(x,y) - возвращает значение коэффициента а;

- intercept(x,y) - возвращает значение коэффициента b.

Формулы для вычисления коэффициентов а и b линейной зависимости можно применять для нахождения параметров эмпирических функций, график которых не является прямой линией.

Пример 4. Решение задачи обработки экспериментальных данных в MathCAD.