Силы давления покоящейся жидкости на криволинейные стенки
Поможем в ✍️ написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

При криволинейной стенке определение значения, направления и точки приложения силы давления жидкости усложняется, так как элементарные силы давления, действующие нормально на каждую элементарную площадку стенки, имеют разные направления. В этом случае с целью упрощения (чтобы избежать интегрирования по криволинейной поверхности) приходится определять вначале составляющие силы давления по заданным направлениям,

 

например по осям координат х, у,z, а затем находить результирующую силу давления

 

Практически приходится иметь дело с криволинейными стенками, представляющими собой поверхности вращения (сферу, цилиндр, конус) и имеющими ось симметрии, лежащую в плоскости, нормальной к стенке, что существенно упрощает определение силы давления жидкости.

Определим силу давления жидкости Р на криволинейную стенку цилиндрической формы, след которой на рис. 2.13— линияMN.

Как и в предыдущем случае, выделим на стенке элементарную площадку dF (след ее на рис. 2.13 -—линия MN), находящуюся на расстоянии z от свободной поверхности. Сила давления Жидкости на эту элементарную площадку

 

 

Разложим dP на две взаимно перпендикулярные составляющие: горизонтальную  и вертикальную  и просуммируем отдельно все горизонтальные и все вертикальные составляющее;: Ввиду малости элементарной площадки примем ее за плоскую и спроектируем на горизонтальную ;и вертикальную.; плоскости ..-Проекции. dF будут:: ;-'И'

Найдем горизонтальную составляющую силы давления жидкости на криволинейную стенку , которая представляет собой сумму всех элементарных горизонтальных составляющих Так как,dPx=dPcosα=ρgzdFcosα=ρgzdFz

 

где   — статический момент площади вертикальной проекции криволинейной стенки относительно оси х, проходящей по свободной поверхности жидкости;  — площадь вертикальной проекции смоченной жидкостью криволинейной стенки;  — расстояние центра тяжести от свободной поверхности жидкости. Тогда

 

(2.27)

 

Таким образом, горизонтальная составляющая силы давления жидкости на криволинейную стенку равна силе давления жидкости на ее вертикальную проекцию [сравните уравнения (2.27) и (2.22)].

Найдем вертикальную составляющую силы давления жидкости на криволинейную стенку , которая представляет собой сумму всех элементарных вертикальных составляющих . Так как

 

 ,

 

 где элементарный объем жидкости, основанием которого является площадка , а высотой — расстояние от этой площадки до свободной поверхности жидкости z, то, проинтегрировав по всему объему V, получим

Таким образом, вертикальная составляющая силы давления жидкости на криволинейную стенку равна силе тяжести жидкости в объеме V, называемом телом давления.

Результирующая сила давления жидкости на криволинейную стенку цилиндрической формы Р равна геометрической сумме составляющих

 

 

и направлена под углом а к горизонту

 

 

Для нахождения тела давления можно воспользоваться следующим определением: тело давления - это объем ограниченный рассматриваемой кривoлинейной стенкой, смоченной жидкостью, вертикальной цилиндрической поверхностью, проведенной через контур этой стенки, и горизонтальной плоскостью, про­веденной по свободной поверхности жидкости.

Тело давления условно считается реальным, если его объем, прилегающий к стенке, заполнен жидкостью; составляющая при этом направлена вниз. Тело давления условно считается фиктивным, если его объем, прилегающий к стенке, не заполнен жидкостью; составляющая Рz при этом направлена вверх.


На рис. 2.14 приведено несколько примеров тел давления для криволинейных стенок различной формы.

Пример. Определить силу давления нефти Р на цилиндрическую стенку резервуара (рис. 2.15) и угол наклона линии действия этой силы к горизонту ,если радиус стенки м, ширина стенки  м, высота нефти в резервуаре . Относительная плотность нефти

Вертикальная проекция криволинейной стенки представляет собой прямоугольник, площадь которого равна

Расстояние центра тяжести  от свободной поверхности нефти равно

Тело давления представляет собой разность объемов параллелепипеда высотой H , шириной В и длиной R и четверти цилиндра с радиусом R и шириной В.

Таким образом, по уравнениям (2.27)—(2.29):

Угол наклона линии действия силы давления к горизонту определим из уравнения (2.30)


Закон Архимеда.

 Сила, с которой жидкость воздействует на погруженное в нее тело, равна весу жидкости в объеме погруженного тела. Плавучесть тела определяется условиями его равновесия на свободной поверхности.

Плавающее тело при качке может наклоняться в одну и в другую сторону или, как обычно говорят, давать крен. Способность судна выходить из крена в первоначальное положение называется остойчивостью судна.

Метацентром называют точку пересечения оси плавания с линией действия архимедовой силы при крене плавающего тела или судна. Метацентрической высотой называют превышение метацентра над центром тяжести тела. Для остойчивости судна или тела надо иметь положительное значение метацентрической высоты.

Рассмотрим погруженное в покоящуюся жидкость твердое тело произвольной формы, объем которого V (рис. 2.16). В соответствии с уравнением (2.26) на поверхность этого тела со стороны жид­кости будет действовать сила

 

 

Если рассечь тело вертикальными плоскостями, параллель­ными плоскостям xOz и yOz, таким образом, чтобы площади сечений получились максимальными, то нетрудно показать, что горизонтальные составляющие Рх и Ру равны нулю, так как на каждую из частей будут действовать равные и противоположно направленные силы:

 

 

Вертикальная составляющая силы давления жидкости на тело

 

где V’ — объем ABCDEA,  — объем AFCDEA, результирующий объем тела давления, равный в данном случае объему погруженного в жидкость тела (объему ABCFA) и являющийся фиктивным. '

Подставляя в уравнение (2.26) значения   , получим

 

                      (2.31)

 

На погруженное в жидкость тело действует архимедова сила, направленная вертикально вверх и равная силе тяжести жидкости в объеме погруженной части тела. Это и есть закон Архимеда, открытый им в 250 году до н. э.

В уравнении (2.31): Р—архимедова сила, V—объемное водоизмещение (объем вытесненной телом жидкости), —водоизмещение (масса вытесненной телом жидкости).

Тело, погруженное в покоящуюся жидкость, находится под действием двух сил: силы тяжести , приложенной в центре тяжести тела, и архимедовой силы , приложенной в центре объемного водоизмещения. В этих формулах:  — плотность тела,  — плотность жидкости.

При погружении тела в жидкость может быть три характерных случая:

1. , т. е. сила тяжести тела больше архимедовой силы в этом случае их результирующая будет направлена вниз, следовательно, тело тонет.

2. , т. е. сила тяжести тела равна архимедовой силе; в этом случае их результирующая , следовательно тело будет находиться в жидкости в состоянии безразличного равновесия (подводное плавание).

3. , т. е. сила тяжести тела меньше архимедовой силы в этом случае их результирующая  будет направлена вверх, следовательно, тело всплывает.

В последнем случае при выходе части тела из жидкости архимедова сила уменьшается и в определенный момент наступит равновесие                                            (надводное плавание). Объем погруженной части плавающего на поверхности жидкости тела может быть найден по формуле

Для равновесия тела при подводном или надводном плавании помимо равенства сил необходимо еще равенство нулю суммарного момента. Последнее условие соблюдается тогда, когда центр тяжести тела лежит на одной плоскости с центром водоизмещения. Более подробно вопросы плавания тел и устойчивости их равновесия рассматриваются в специальных курсах.

Закон Архимеда широко используется при расчете и проектировании судов и других плавающих средств, различных поплав­ковых устройств (датчиков уровня, дифманометрев поплавкового типа), в гравитационных методах обогащения полезных ископа­емых и т. д.

 

Вопросы для самопроверки.

1. Что называют гидростатическим давлением? В каких единицах его выражают?    Каковы свойства гидростатического давления?

2. Что называют избыточным, абсолютным давлением, вакуумом?
Чему равна наибольшая величина вакуума?

3. Объясните физический смысл величин, входящих в дифференциальные уравнения равновесия жидкости Эйлера?

4. В чем разница между напором и давлением?

5. Что такое поверхность равного давления? Каковы ее формы
и уравнения при абсолютном покое, в случае движения сосуда вокруг
вертикальной оси?

6. Как формулируется закон Паскаля и какова его связь с основным уравнением гидростатики?

7. Почему центр давления находится ниже центра тяжести смо­ченной поверхности наклонной плоскости стенки?

8. Какие правила следует соблюдать при вычерчивании тела давления?

9. Сформулируйте закон Архимеда и напишите условия плавания тел.

10. Что такое плавучесть и остойчивость судна?

11. Дайте определения понятиям: метацентр, метацентрическая
высота, метацентрический радиус, водоизмещение.

12. Изложите условия статической остойчивости судна.

 

Литература: 1, 3, 4.

 





Задачи

 

1. Определить:

1) какой прибор для измерения давления (манометр или вакуумметр) надо установить на дне резервуара, заполненного водой на высоту h, если показания вакуумметра в крышке равно Pвак 2) как изменится результат, если воду заменить ртутью с равной высотой.

 

Исходные данные

Последняя цифра шифра

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
H, м 1,5 2,0 2,5 3,0 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 2,0
Pвак, атм 0,5 0,6 0,7 0,6 0,4 0,4 0,5 0,6 0,4 0,3

2. Тарелка всасывающего клапана насоса диаметром d2 закрывает отверстие для прохода воды диаметром d1. Какое разряжение необходимо создать в момент пуска насоса во всасывающей трубе, чтобы при положении уровней воды h1 и h2 всасывающий клапан открылся? Барометрическое давление принять равным 736 мм рт.ст.

Исходные данные

Последняя цифра шифра

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
d1 0,2 0,1 0,2 0,1 0,2 0,3 0,3 0,1 0,2 0,3
d2 0,25 0,1258 0,25 0,12 0,25 0,35 0,325 0,15 0,25 0,35
h1 1,5 1,0 2,0 2,0 1,0 1,5 1,0 1,5 1,0 1,0
h2 2,0 2,0 1,0 1,0 2,0 1,5 1,5 1,5 1,5 2,0

3. Найти плотность топлива в открытой отстойной емкости, если высота уровня воды и вешнего уровня топлива в ней соответственно равны h1= 2 м и h2= 5 м, а уровень воды в пьезометрической трубке равен h3  /рис. 3/.

Исходные данные

Последняя цифра шифра

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
h3 4,50 4,55 4,60 4,35 4,40 4,45 4,65 4,70 4,75 4,80

 

4. На какую высоту h поднимается вода в пьезометрической трубке под действием плунжера с силой Р, если диаметр плунжера d , загружение плунжера a = 0,3 м

Исходные данные

Последняя цифра шифра

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Р, Н 50 75 100 100 150 200 250 250 300 350
d, м 0,10 0,10 0,10 0,15 0,15 0,15 0,15 0,20 0,20 0,20

 

Примеры решения задач

Задача 1.

Определить силу предварительного натяжения пружины F пр дифференциального предохранителя переливного клапана объемного гидропривода, при которой клапан срабатывает и открывает доступ маслу из системы на слив, как только давление в системе достигает величины Рс=0,5МПа. Диаметры поршней D 1=100 мм и D 2= 50 мм, истока d=25 мм.

 

Решение.

Давление Рс будет действовать как на поршень 1, так и на поршень 2, а значит сила, действующая на эти поршни будет направлена в разные стороны.

;

F пр равняется алгебраической сумме F1 и F2 но так как F1 и F2 направлены в разные стороны, то Fпр= F1 - F2 = 3,679-0,735=2, 94 кН

 

Задача 2.

Определить величину и направление силы F приложенной к штоку поршня для удерживания его на месте. Справа от поршня находится воздух, слева от поршня и в резервуаре, куда опущен открытый конец трубы – нефть. Показание пружинного мановакуумметра Рмв=0,05 МПа. Размеры Н=6 м, D=140 мм, d=70 мм.

Решение.

F+Fвак=Fнефти, Fвак= Рвак.S= , ,

Задача 3.

Цилиндрический закрытый сосуд с вертикальной осью имеет высоту Н=0,8 м и диаметр 2R = 2.0,1мм и наполнен жидкостью на глубину Н0=0,6 м. Определить чистоту его вращения, при которой: а) Вершина воронки расположена на высоте h=0,1 м под дном сосуда. б) диаметр воронки будет равен 2r=2. 0.08 мм.

Решение.

При вращении жидкости свободная поверхность имеет уравнение , , ω угловая скорость связана с частотой, как ω=2πn, определяем частоту, при которой , ,

Задача 4.

Определить высоту h столба воды в пьезометрической трубке. Столб воды уравновешивает полый поршень с диаметром D=0,5 м и d=0,2 м, имеющий высоту Н=0,3 м. Собственным весом поршня и трением уплотнения пренебречь.

Решение.

1. Определим силу давления на поверхность поршня со стороны внешней среды:

2. Так как поршень уравновешивает столб воды, то

3. Найдем исходную высоту подъема воды в трубе h

Задача 5.

Определить силу манометрического давления воды на единицу ширины (b=1м) круговой цилиндрической поверхности. Диаметр цилиндра d = 2м. Свободная поверхность совпадает с верхней образующей цилиндра.

Решение.

Задача 6.

Построить эпюры давления и определить величину равнодействующих сил избыточного давления воды на 1 погонный метр подпорной стенки АВС. Размеры: R = 1 м, h = 2 м.

Решение.

1. Определим силу давления на криволинейный участок АВ:

Рг

,

Рв

 (так как телом давления является четверть цилиндра)

Р

2. Определяем давление на вертикальную стенку ВС:

3. Определяем результирующую силу

Задача 7.

Цилиндрический сосуд, имеет диаметр D = 0,4 м и наполненный водой до высоты h =0,3 м, висит без трения на пружине диаметром d = 0,2 м.

1) Определить вакуум Рвак, обеспечивающий равновесие сосуда, если масса

m = 50 кг. Как влияют на полученный результат диаметр плунжера и глубина его погружения в жидкость?

2) Рассчитать силы давления, действующие на крышки В и С сосуда.

Решение.

1) ; ; ; ; ;

2) ;

Задача 8.

Определить силу Fх и Fу, стремящиеся разорвать торцовую, полусферическую часть цистерны диаметром D = 3 м, заполненной нефтью (γн=800 кГс/м3), по сечением 1-1 и 2-2. Уровень нефти находится на высоте h1=0,5 м над цилиндрической частью цистерны.

Решение.

; ; ; ; ; ;

Задача 9.

Определить силу F, необходимую для удержания в равновесии поршня П, если труба под поршнем заполнена водой, а размеры трубы D = 100 мм,   H = 0,5 м, h = 4 м. Длина рычага a = 0,2 м, b = 1 м. Собственным весом поршня пренебречь.

 

Решение.

Составим уравнения равновесия системы:

; ; ; ; ; ; ; ; .

Задача 10.

Определить давление в гидросистеме и вес груза G лежащего на поршне 2, для его подъема к поршню 1 приложена сила F = 1 кН. Диаметры поршней: D= 300 мм, d = 80 мм. Разность высоты пренебречь.

Решение.

1. Определяем давление в гидросистеме.

2. Определяем подъемную силу

3. Определяем вес груза G: Вес груза G < Р => G < 14062,5 Н

Задача 11.

Определить величины и направления сил давления воды на плоское и полусферическое днища сосуда диаметром D = 1 м в 3 случаях:

Показать в виде векторов горизонтальные и вертикальные составляющие сил воды на днища.

 

Решение.

 

1. Определить горизонтальные силы давления

 

,  - площадь проекции на вертикаль плоского и полусферического днища,  - расстояние по вертикале от центра тяжести вертикальной проекции стенки до пьезометрической плоскости  = у. ; 1)  при  = у =  2)  при  = у =  3)  при  = у =

2. Определить вертикальные силы давления

 

,  - объем тела давления цилиндрического днища.  - объем тела давления плоской стенки.

На полусферу  - одинаково для всех трех случаев. На плоскую стенку

Задача 12.

Для опрессовки водой подземного трубопровода (проверка герметичности) применяется ручной поршневой насос. Определить объем воды (модуль упругости к = 2000 МПа), который нужно закачать в трубопровод для повышения избыточного давления в нем от 0 до 1 МПа. Считать трубопровод абсолютно жестким. Размеры трубопровода: длина L = 500 м, диаметр d=100мм. Чему равно усилие F на рукоятке насоса в последний момент опрессовки, если диаметр поршня насоса dп = 40 мм, а соотношение плеч рычажного механизма а/b = 5.

Решение.

1. Определить относительное изменение объема жидкости.

;

Находим объем трубопровода:

; dP = 106 Па

Находим изменение объема:

2. В последний момент давление в системе Р = 1 МПа.

Найти салу давления на поршень со стороны жидкости.

Поршень находится в равновесии, значит, со стороны рычага должна действовать сила давления . Составляем уравнения моментов относительно точке О и приравняем его к нулю.

;

Найдем силу F :

.

Задача 13.

Тонкостенный сосуд, состоящий из двух цилиндров диаметрами d = 0,3 м, D=0,8 м, нижним открытым концом опущен под уровень воды в резервуаре А и покоится на опорах С, расположенных на высоте Н = 1,5 м над этим уровнем. Определить силу, воспринимаемую опорами, если в сосуде создан вакуум, обусловленный поднятием воды в нем на высоту (H+h) = 1,9 м. Масса сосуда m = 100 кг.

Решение.

1. Запишем сумму сил на ось У, система находится в равновесии, значит

Σ Уi = 0; Rс + Rс – mg – Р = 0;

2. Сила давления жидкости равна:

;

3. Определить вакуумметрическое давление:

4. Площадь, на которую давит жидкость:

5.

6. Определить силу воспринимаемую одной опорой

Задача 14.

В герметическом сосуде - питателе А находится расплавленный баббит (ρ=800 кг/м3). При показании вакуумметра Рвак=0,07 МПа заполнение ковша Б прекратилось. При этом Н = 750 мм. Определить высоту уровня баббита h в сосуде - питателе А.

Решение.

Давление в т. М:

;

;

Задача 15.

Определить силу F, необходимую для удерживания поршня на высоте h2 = 2м над поверхностью воды в колодце. Над поршнем поднимается столб воды высотой h1 = 3 м. Диаметр поршня D = 100 мм, штока d = 30 мм. Вес поршня и штока не учитывать.

 

Решение.

Система находится в равновесии, если сумма всех сил равна нулю.

Найдем все силы действующие на поршень.

Сила давления столба h1 находится так:

, где  - гидростатическое давление,  - смоченная площадь поршня, ;

Поршню необходимо удерживать вес столба h2, но через эту часть передается так же атмосферное давление Ратм, т.е. сила на поршень будет равна:

, где m – масса столба h2.

;

Составим уравнение равновесия:

Задача 16.

Определить нагрузку на болты крышек А и Б гидравлического цилиндра диаметром D = 160 мм, если к плунжеру диаметром d = 120 мм приложена сила F = 20 кН.

Решение.

1. Нагрузка (сила давления) на болты крышки А:

 (1), где Р – давление на крышку, которое создает сила F. , где -площадь плунжера. , т.е.

 - площадь крышки А;

Подставим значение Р и  в уравнение (1) получим:

2. В соответствии с законом Паскаля давление, сообщенное болтами на крышку А, сообщается с болтами на крышке Б, таким образам вызывая силу:  (2), где  - площадь крышки Б,

Подставим значение Р и  в уравнение (2) получим:

Таким образом нагрузка на болты крышки А гидравлического цилиндра:

нагрузка на болты крышки Б гидравлического цилиндра:

 

 

Задача 17.

Определить расположения шести ригелей по высоте вертикального щита, из условия, чтобы каждый ригель подвергался одинаковой силе давления, а так же определить силу давления, приходящуюся на один ригель. Высота щита Н= 6 м, ширина b = 20 м.

Решение.

 

В точке 6 действует вертикальная соответствующая сила давления:

 

, где S – площадь S = H.b;

;

В точке 5 действует и вертикальная и горизонтальная составляющая, поэтому общая будет иметь вид:

 

Так как Р65, то

 

; ;

 

;

; ;

 

 

Аналогично: ; ;

 

 

Сила давления приходящаяся на один ригель:

 

Задача 18.

Определить силу F, действующую на шток гибкой диафрагмы, если ее диаметр D = 200 мм, показание вакуумметра Рвак = 0,05 МПа. Высота h = 1 м. Площадью штока пренебречь. Найти абсолютное давление в левой плоскости, если hа = 740 мм.рт.ст.

Решение.

 => ;

 

 

 

Задача 19.

Показание манометра, присоединенного к днищу бака, Рм = 10 кПа. Найти давление Рх воздуха, находящегося под водой, если h1 = 1,8 м и h2 = 1 м. Определить растягивающее Fраст и срезающее Fсрез усилие болтов крепящих к вертикальной стенке бака коническую крышку с размерами d = 0,8 м и l=0,6 м. Массой крышки пренебречь.

Решение.

; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;

Задача 20.

Определить абсолютное давление Рабс в резервуаре. 1. если подача жидкости из него по трубопроводу 2. прекратилась и клапан 3 закрыт. Показание вакуумметра Рвак=0,05 МПа, высота Н=2,5 м, сила пружины Fпр=10 Н плотность жидкости ρ=755 мм рт. ст., диаметр dкл= 20мм, dш= 10мм, диаметр клапана 3 D=80 мм.

Решение.

,

, ,

,

Задача 21.

Закрытый резервуар разделен на две части плоской перегородкой, имеющей квадратное отверстие со стороной а=0.3 м, закрытое крышкой. Давление под жидкостью Ж в левой части резервуара определяется показаниями манометра Рм=0,12 МПа. Давление воздуха в правой части показаниями вакуумметра  Рмв=-0,04 МПа. Определить величину и точку приложения результирующей силы давления на крышку. Температура жидкости t=200 и h=2.5 м.

Решение.

Давление на крышку , где x – глубина.

 

,

 

,

 

Задача 22.

Система из двух поршней, соединенных штокам, находится в равновесии. Определить силу, сжимающую пружину. Жидкость, находящаяся между поршнем и в бачке, масло с плотностью ρ = 870 кг/м3. диаметры D = 80 мм, d= 30 мм, высота H0 = 100 мм. Избыточное давление P0 = 10 кПа. Площадью штока пренебречь.

Решение.

1. Давление между поршнями на оси штока.

 

 

2.

 

Задача 23.

Определить абсолютное давление на поверхности жидкости в сосуде Рабс и высоту h, если атмосферное давление соответствует hа = 740 мм.рт.ст., поддерживающая сила F = 10 Н, вес сосуда G = 2 Н, его диаметр 60 мм.

Толщиной стенки пренебречь. Плотность жидкости ρ = 1000 кг/м3.

Решение.

; ; Общая масса , где  - масса сосуда,  - масса воды.

 

; ; ; ;

 

; ;

 

Высота, на которую поднялась жидкость

 

; ;

 

Переводим атмосферное давление из мм.рт.ст. в паскали.

Задача 24.

 

Горизонтальный цилиндрический сосуд диаметром d=0,8 м с полусферической и конической тонкостенными крышками заполнен жидкостью с плотностью . Правая половина цилиндра (с конической крышкой) вставлена в замкнутый резервуар и находится под уровнем другой жидкости (плотностью ) на глубине h=2 м. Определить горизонтальную F1 и вертикальную F2 составляющие сил давления жидкости на полусферическую и коническую крышки A и В, если показания вакуумметра Рвак=10 кПа, кг /м3. Показать в виде вектора горизонтальные и вертикальные составляющие сил давления жидкости на полусферу и конус. Показания манометра РМ =30 кПа.

Решение

1. Определяем горизонтальные и вертикальные составляющие сил давления для крышки А:

 

 (Н)= 5,027(кН)

, где

 

 (Н)= 1,315 (кН)

 

2. Определяем горизонтальные и вертикальные составляющие сил давления для крышки В:

 

Тогда:                            

, где

, так как  кг/м3, то

 

 (Н)=17,701 кН

 

 

 


ГИДРОДИНАМИКА

Раздел 3. КИНЕМАТИКА И ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ.

Дата: 2018-12-28, просмотров: 2101.