Давайте рассмотрим, при каких условиях цепочки, изображённые на рис. 2.14, будут приближённо дифференцирующими для гармонического (синусоидального) сигнала.

Из (2.10)                          . Значит, коэффициент передачи идеальной

дифференцирующей цепочки должен быть                                                                         (2.23)

Коэффициент передачи этих цепочек будет:                                                              (2.24)

где постоянные времени этих цепочек:             

Из (2.24) виден ещё один признак хорошего дифференцирования:  ωτ должно быть много меньше единицы, а постоянная времени цепочки должна быть много меньше периода

 синусоиды T:                                    то есть частота                                                            (2.25)

При этом условии в знаменателе (2.24) останется только единица, а коэффициент передачи будет |K( ω)| << 1.

Обратим сразу внимание, что две цепочки, составленные из разных элементов, обладают подобными характеристиками. Более того, эти цепочки становятся идентичными при RC = L/ R.

Это означает, что на выходе наших цепочек мы получим производную от входного сигнала, если частоты будут достаточно низкими, ω << 1/τ . Естественно, мы получим производную в некотором приближении, и это приближение будет тем лучше, чем лучше выполняется неравенство (2.25).

Условие дифференцируемости на временно́м языке

Кроме частотного рассмотрения, полезно рассмотреть действие наших дифференцирующих цепочек на временно́м языке.

Рис. 2.15.

Слева – дифференцирование прямоугольного импульса.

Справа – интегрирование прямоугольного импульса.

В качестве примера рассмотрим прямоугольный импульс длительности  t₀ , изображённый на рис. 2.15 слева. Прямоугольный импульс можно представить как суперпозицию (наложение) двух ступенек (показаны пунктиром на верхнем графике рис. 2.15).

Сразу отметим, что математически производная от такого прямоугольного импульса с вертикальными фронтами есть две дельта-функции ( U_{ИД ДИФФ}  на рис. 2.15 слева). Это следует из того, что производная от ступеньки (функции Хевисайда) есть просто дельта-функция.

Нетрудно найти выходное напряжение в наших цепочках, воспользовавшись переходной характеристикой (2.21) – это будут две спадающие экспоненты, как показано на рис. 2.15 слева внизу.

Причём, если постоянная времени  τ << t₀ ,                                                                      (2.26)

то выходное напряжение похоже на производную от сигнала.    

Таким образом, мы получили приближённое условие дифференцируемости на временном языке. Это условие приложимо и к сигналу произвольной формы, если под  t₀ мы будем понимать характерную длительность сигнала.

Заметим, что условия (2.23) и (2.26) эквивалентны, а применение одного или другого зависит от того, какой язык (частотный или временно́й) используется в задаче.

Интегрирующие цепочки

Рассмотрим для примера две интегрирующие цепочки, изображённые на рис. 2.16.

Рис. 2.16. 

RC и RL-цепочки.

Эти цепочки имеют идентичные характеристики при RC = L/ R:

                                                                                                                                          (2.27)

                                    где                               – это время релаксации цепочки.

h _ИНТ (t)= 1 – h _ДИФФ (t)_,                                                                                   (2.28)

Рис. 2.17. Переходная, частотная и фазовая характеристики интегрирующей цепочки.