Напомним, что фазово-модулированный сигнал (ФМ) определяется как

                                                                                                                                           (3.47)

где последнее неравенство означает, что фаза ФМ сигнала меняется медленно.

Рассмотрим простейший пример ФМ сигнала:

                                                                                                                                            (3.48)

Здесь m – коэффициент фазовой модуляции.

Покажем, что спектр ФМ сигнала (3.48) шире аналогичного АМ сигнала (3.45) и содержит не только составляющие  ω₀ ± Ω, но и комбинации  ω₀ ± 2Ω, ω₀ ± 3Ω, ω₀ ± 4Ω... Для этого запишем ФМ сигнал (3.48) в комплексной форме и воспользуемся формулой из теории Бесселевых функций:

                                                                                                                                                     (3.49)

Из последнего равенства видно, что в спектре ФМ сигнала присутствует бесконечное число спектральных составляющих с частотами ω₀ ± k Ω (k – целое).

Рассмотрим случай малого коэффициента модуляции: m << 1. Тогда косинус и синус малого угла в (3.48) ( m sinΩt ) можно разложить в ряд и удержать только члены, пропорциональные m и m².

                                                                    см. справочный лист в конце.

Это в комплексной форме, см. рис. 3.29Б. Формула пригодится чуть позже.

                                                                                                                                            (3.50)

Рис. 3.29.

А – спектр ФМ сигнала при m << 1.  

Б – векторная диаграмма этого сигнала.

Если пренебречь малыми членами порядка m², то мы увидим, что в линейном по  m приближении ФМ сигнал представляет собой сумму трёх спектральных составляющих.

На рис. 3.29 представлен спектр сигнала (3.50), состоящий из трёх составляющих. Там же представлена векторная диаграмма (справа): вектор  основного колебания вращается с частотой  ω₀  и две спектральные составляющие, вращающиеся с частотами  ω₀ ± Ω . Относительно вектора основного колебания гармоники вращаются с частотами ± Ω так, что вектор их суммы всегда перпендикулярен вектору , так как несущая  ~ + Re, а сумма боковых ~ – Im !

Из (3.50) также следует, что в приближении  ( m << 1), учитывающем члены ~ m², в спектре фазово-модулированного сигнала появляются слабые гармоники  ω₀ ± 2Ω. Можно показать, что учёт членов ~ m³ приведёт к появлению гармоник  ω₀ ± 3Ω и т.д. Таким образом, мы приходим к выводу, что спектр ФМ сигнала шире спектра АМ сигнала, поскольку он дополнительно содержит гармоники  ω₀ ± 2Ω,  ω₀ ± 3Ω и так далее.

Рис. 3.30А.

Амплитуды гармоник фазово-модулированного сигнала с большими коэффициентами модуляции. При m = 1 появляется небольшая вторая боковая гармоника, при m = 2 появляется третья гармоника, а при m = 3 вторая гармоника становится больше первой. Ширина спектра растёт с ростом m.

Рис. 3.30Б.

Графики функций Бесселя
J₀(z), J₁(z), и J₂(z).

Программа:

clc;  AA = axes; set(AA, 'FontSize',18);

FigureColor=[1,1,1]; hFigure=gcf; 

set(hFigure, 'Color', FigureColor)  

z=[0:.01:20]; grid on; hold on;

y=besselj(0, z); plot(z, y,'r-', 'LineWidth',2);
y=besselj(1, z); plot(z, y,'b-', 'LineWidth',2);

y=besselj(2, z); plot(z, y,'k-', 'LineWidth',2);