Дельта-функция δ ( t ) является обобщённой функцией и математически она определяется так:
(3.32)
где f( t) – произвольная кусочно-непрерывная функция. Дельта-функция так узка, что функция в (3.32) выносится за знак интеграла как константа.
То есть эта функция не равна нулю только в точке t = 0, где она обращается в бесконечность таким образом, чтобы её интеграл по любой окрестности был равен 1. В этом смысле понятие дельта-функции аналогично физическим понятиям точечной массы или точечного заряда.
Для физика полезно представить дельта-функцию в виде предела некоторой обычной функции. Существует много таких представлений. Вот одно из них:
где а (3.33)
Для справки: у Рыжика и Градштейна (3.34)
Из этого определения видно, что дельта-функцию можно представить как "колокол" с центром в начале координат, ширина "колокола" стремится к нулю, а высота увеличивается так, чтобы площадь под "колоколом" оставалась равной единице. Функцию D( t, α) называют "размазанной" дельта-функцией.
Найдём Фурье преобразование функции D( t, α):
Из (3.20, 3.21): (3.35)
Подставим сюда D из (3.33): (3.36)
Представим показатель степени экспоненты как:
Обозначим
см. (3.34)
Теперь мы можем формально найти Фурье-образ дельта-функции, переходя к пределу.
Это Фурье-образ, или спектр δ-функции. (3.37)
(3.38)
Когда t = 0 интеграл от единицы равен бесконечности.
Когда t ≠ 0, то это интеграл от знакопеременной функции и он равен нулю.
Иногда интеграл (3.38) используют как ещё одно определение дельта-функции.
Переход к пределу иллюстрирует рис. 3.23. Видно, что чем у́же функция D( t, α) тем шире её Фурье-образ. Для настоящей дельта-функции спектр сплошной, его амплитуда постоянна и равна единице.
Рис. 3.23А. Рис. 3.23Б.
А: Графики "размазанной" дельта-функции D( t, α) при различных значениях параметра α.
Б: Графики образа Фурье "размазанной" дельта-функции D( ω , α) при тех же значениях.
Видно, что при уменьшении α функция D( t, α) становится всё более узкой, тогда как её Фурье образ D( ω , α) становится шире, стремясь к спектру дельта-функции, то есть к единице. При ω = 0 значение D( ω , α) = 1 независимо от "ширины колокола" рис. 3.23А. [3, стр. 44]
Функция Хевисайда (ступенька) и её Фурье-образ
Напомним одно из определений функции Хевисайда:
если Рис. 3.24.
Функция
Хевисайда.
При вычислении Фурье-образа функции Хевисайда возникает затруднение – интеграл не сходится к пределу. Действительно:
Предела нет.
Раз предела нет, то можно попробовать представить единичную функцию Хевисайда в виде медленно спадающей квазиступеньки H( t, ε):
Рис. 3.25.
Квазиступенька. (3.39)
Теперь можно найти Фурье-образ (то есть сплошной спектр) этой спадающей ступеньки:
(3.40)
Отсюда модуль спектральной плотности будет 
, а аргумент:
Запомните, что связь между этими функциями выражается следующим образом:
(3.41)
Модулированный сигнал
Любой сигнал – это функция времени. Чаще всего в радиотехнике передают, усиливают, преобразуют высокочастотный синусоидальный сигнал, у которого амплитуда или частота изменяются пропорционально этому сигналу.
Амплитудно-модулированным называется сигнал, амплитуда которого изменятся медленно cо временем по сравнению с изменением несущей:
Если А ~ cos Ωt, то обычно Ω << ω 0. (3.42)
Фазово-модулированным называется сигнал, фаза которого изменятся медленно cо временем по сравнению с изменением несущей:
(3.43)
Частотно-модулированный сигнал является близким к фазово-модулированному. Он определяется как
(3.44)
Очевидно, что
Здесь ω 0 – частота несущей, а Δω( t) – переменная (модулируемая) часть частоты.
Дата: 2018-12-28, просмотров: 219.
