Определение 3.23. Функция  называется непрерывной в точке , если: 1) эта функция определена в некоторой окрестности точки ; 2) существует предел  3) этот предел равен значению функции в точке , т.е.  

Определение непрерывности функции в точке  может быть записано и так:

Очевидно, что непрерывность функции в данной точке выражается непрерывностью ее графика при прохождении данной точки. График строится без отрыва карандаша от листа бумаги.

Сформулируем второе определение непрерывности.

Дадим аргументу  приращение . Тогда функция  получит приращение . Приращением аргумента называется разность между наращенным и исходным значением аргумента: .

Рис. 3.23

Приращением функции называется разность между наращенным и исходным значением функции:  (Рис. 3.23).

Определение 3.24. Функция  непрерывна в точке  если она определена в некоторой окрестности этой точки и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции:

Легко убедится в равносильности этих утверждений. Так, из второго определения следует

Определение 3.25. Если функция непрерывна в каждой точке некоторого промежутка (интервала, отрезка и т. п.), то она называется непрерывной в этом промежутке.

Пример 3.24. Доказать непрерывность функции  

Решение. Найдем приращение функции.  т. е. ограничена.

Произведение бесконечно малой на ограниченную есть бесконечно малая величина. Следовательно,  и по второму определению непрерывности функция  является непрерывной на всей числовой оси.

Основные теоремы о непрерывных функциях

1. Сумма и произведение конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная.

2. Частное от деления двух непрерывных функций есть функция непрерывная во всех точках, где делитель не равен нулю.

3. Если функция  непрерывна в точке  и  то существует такая окрестность точки , в которой

4. Если функция  непрерывна в точке  а функция  непрерывна в точке то сложная функция  непрерывна в точке

Свойство 4 может быть записано в виде

т. е. под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу.

5. Элементарные функции непрерывны в области определения.

Теорема. Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

Условия непрерывности.

Из определения непрерывной функции следует, что функция непрерывна в точке х₀, если она определена в этой точке и ее окрестности и

1) право- и левосторонние пределы существуют,

2) эти пределы равны между собой,

3) эти пределы равны значению функции в точке х₀. То есть .