Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно - исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Первоначально понятие определенного интеграла было дано на примере вычисления площади некоторой достаточно простой плоской фигуры — криволинейной трапеции, ограниченной снизу отрезком  оси , сверху — непрерывной кривой , с боков отрезками прямых  (рис.7.1). Эта площадь  выражается интегралом

                                                        .                                              (7.15)

Площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми  и  и двумя прямыми  и  находится по формуле

                      .                        (7.16)

Эта формула верна при любом расположении относительно оси  графиков функций  и .

Пример 7.13. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми  и .

Решение. Находим точки пересечения этих кривых , откуда . Следовательно,

 (кв. ед.).

 

Пример 7.14. Найти площадь фигуры D, ограниченной линиями  и  (рис.7.3).

Решение. Найдем координаты точек пересечения параболы  и прямой , решив систему этих уравнений: А(-1; -1) и В(2; 2). На отрезке
[-1, 2] выполнено неравенство . Воспользуемся формулой (7.16), где , . Абсциссы точек А и В пересечения наших линий зададут пределы интегрирования.

.

Пример 7.15. Найти площадь фигуры, ограниченной линией .

Решение.

 (кв. ед.).

 

Вычисление объемов тел вращения

Объем тела, образованного вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью Оx и двумя вертикалями  и , вокруг оси Оx, выражается формулой:

                                         .                                             (7.17)

Если тело получается от вращения непрерывной неотрицательной функции ,  вокруг оси Оy, то его объем вычисляется по формуле:

                                         .                                                   (7.18)

Пример 7.16. Вычислить объемы тел, образуемых вращением фигуры, ограниченной одной полуволной синусоиды  и отрезком  оси Оx вокруг: а) оси Оx (рис. 7.4) и б) оси Oy (рис. 7.5).

Решение.

            

    .        

Пример 7.17. Найти объем тела вращения относительно оси  фигуры, ограниченной линиями  и .

Решение. Необходимо преобразовать функции к виду : . Точки пересечения этих кривых  и . Тогда

 (куб. ед.).

Пример 7.18. Найти объем тела вращения фигуры, образованной линией , относительно ее асимптоты при .

Решение. Поскольку , то уравнение горизонтальной асимптоты  и необходимо использовать формулы объема тела вращения относительно оси :

 (ед. куб.).

 

7.4. ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО
ИНТЕГРАЛА

Пример 7.19. В задаче 2 (п. 7.1.1) потребление электроэнергии можно рассматривать как кусочно-непрерывную, ограниченную на  функцию. Поэтому:

.

Пример 7.20. Предположим, что годовой доход  есть функция времени . Пусть удельная норма процента равна  и проценты исчисляются непрерывно. Определить дисконтированный объем дохода, полученного за  лет. (Дисконтирование — определение начальной суммы по известной конечной величине).

Решение. За промежуток времени от  до , при непрерывном начислении процентов, дисконтируемый доход составит:

,

а на отрезке  он будет равен

.

В частности, если годовой доход постоянен и , то его дисконтированная величина

.

Пример 7.21. Найти дисконтированный доход за три года при процентной ставке 6%, если начальные капиталовложения составляют 10 млн. грн и планируется ежегодно увеличивать капиталовложения на 1млн грн.

Решение. Очевидно, что капиталовложения определяются формулой  При непрерывном дисконтировании текущая стоимость дохода равна  Поэтому дисконтированная сумма вложений равна

 млн. грн.

Пример 7.22. Кривая Лоренца — зависимость процента дохода от процента населения, который оно имеет (рис.7.6). При равномерном распределении доходов кривая Лоренца вырождается в прямую — биссектрису ОА, а поэтому площадь фигуры ОАВ между биссектрисой ОА и кривой Лоренца, отнесенная к площади треугольника ОАС (коэффициент Джини) характеризирует степень неравенства в распределении доходов населения.

Рис. 7.6

По данным исследований в распределении доходов в одной стране кривая Лоренца ОВА может быть записана уравнением  где х — доля населения, у — доля доходов населения. Вычислить коэффициент Джини.

Решение.

,

поскольку  то

Отсюда

Достаточно высокое значение K показывает неравномерное распределение доходов среди населения в государстве.

Пример 7.23. Численность населения определяется формулой , где — число жителей в начальный момент времени,  — коэффициент прироста, — число лет. Потребление некоторого продукта в единицу времени пропорционально числу жителей и коэффициент пропорциональности равен . В этом случае функция «потребления»  имеет вид . Найти объем потребления этого продукта на промежутке от  до .

Решение. На малом промежутке времени от  до  количество жителей можно считать постоянным и в этом случае требуемое количество продукта

.

Тогда на промежутке

.

Пример 7.24. В 1996 году население района было 120 тыс. человек, за 5 лет выросло до 132 тыс. человек. Найдем коэффициент прироста населения .

Решение. По условию . Следовательно,

,

т.е.  и для  за 5 лет необходимое количество продукта

 (ед.)

 

ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ

 

Понятие двойного интеграла

По аналогии с интегралами одной переменной  можно построить интегральное исчисление функций нескольких переменных. Соответствующие интегралы называются кратными интегралами.

Пусть  — любая функция двух переменных, непрерывная в некоторой области D , ограниченной замкнутой линией. Разобьем область D на некоторое число n областей произвольной формы и будем называть их частичными областями. Пронумеровав частичные области в каком-нибудь порядке, обозначим их через , а их площади — через .

 

                                                  Рис.7.7

В каждой частичной области выберем по произвольной точке  и составим сумму

,                                                    (7.19)

где  — значение функции в точке .

Сумма  в (7.19) называется n -ой интегральной суммой для функции  в области D, соответствующей данному разбиению этой области на n частичных областей.

Диаметром области называется наибольшее расстояние между точками ее границы.

Определение 7.5. Двойным интегралом от функции  по области D называется предел, к которому стремится последовательность n-ых интегральных сумм при стремлении к нулю наибольшего диаметра частичных областей.

Записывается это следующим образом:

.

Здесь  — подынтегральное выражение,  — подынтегральная функция,  — элемент площади, D — область интегрирования,  — переменные интегрирования.

Теорема существования двойного интеграла. Если функция  непрерывна в ограниченной области D (граница которой состоит из конечного числа непрерывных линий, уравнения которых могут быть заданы в виде  или ), то ее n-я интегральная сумма стремится к пределу при стремлении к нулю наибольшего диаметра частичных областей. Этот предел, т. е. двойной интеграл не зависит от способа разбиения области D на частичные области  и от выбора в них точек .