Вычисление определенного интеграла по определению очень сложно и реально может быть проведено для двух-трех простейших функций. Хотя из данного определения не следует, что между неопределенным и определенным интегралами есть какая-либо зависимость, на самом деле они очень тесно связаны.
Теорема. Если функция непрерывна на
, то
(7.5)
для всех (по свойству 12).
Например,
Доказательство.
Обозначим . Нужно доказать, что
. Для этого применим определение производной. Пусть
— приращение аргумента. Тогда
Теперь Функция
непрерывна в точке х, поэтому
Наконец
так как ξ лежит между х и
Из этой теоремы легко получить формулу для вычисления определенного интеграла. По доказанной теореме — первообразная для функции
Поэтому
— произвольная первообразная для
Получим:
.
Найдем постоянную С.
.
Следовательно,
.
Отсюда получаем формулу, называемую формулой Ньютона-Лейбница:
, (7.6)
где — некоторая первообразная для
, т.е.
.
Пример 7.1. Вычислить .
Решение.
Пример 7.2. Вычислить .
Решение.
.
Замена переменной в определенном интеграле
Теорема.
, (7.7)
где — функция, непрерывная вместе со своей производной
на отрезке
, а
— функция, непрерывная на [α,β].
Доказательство. Пусть — первообразная для функции
на отрезке
. Тогда
— первообразная функции
на [α,β]. Действительно
Применяя дважды формулу Ньютона — Лейбница, получаем
Замечание. Если — нечетная функция, т. е.
, то
. Если
— четная функция, т. е.
, то
.
Пример 7.3. Вычислить .
Решение. Положим ; если
; если
. Тогда
Пример 7.4. Вычислить .
Пример 7.5. Вычислить .
Решение. Положим . Тогда
, откуда
. Когда переменная х изменяется от 0 до 4, то переменная
изменяется от 0 до 2. Таким образом, после замены переменной у определенного интеграла изменяются пределы интегрирования. Итак, имеем
.
Замечание. Отсюда видно, что разница в применении замены переменной в неопределенном и определенном интеграле состоит в том, что во втором случае не приходится возвращаться к старой переменной, так как при замене переменной изменяются также и пределы интегрирования.
Интегрирование по частям в определенном интеграле
Теорема.
, (7.8)
где — непрерывно дифференцируемые функции на отрезке [а,b].
Доказательство. Применим формулу Ньютона — Лейбница к равенству
Получим
.
Отсюда т.к. по определению дифференциала
Пример 7.6. Вычислить .
Решение. Воспользуемся методом интегрирования по частям. Положим , откуда
. Тогда
Пример 7.7.
.
Пример 7.8. Вычислить .
Решение. Сначала воспользуемся методом замены переменных, затем проинтегрируем полученный интеграл по частям.
.
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Дата: 2018-11-18, просмотров: 517.