Уравнения, не содержащие у и у′

Пример 28. Решить дифференциальное уравнение второго порядка  
 (см. М-1540, стр. 35).

Решение. ; ; ; . Интегрируя, находим . Далее ; ; , интегрируя, получаем

 — общее решение.

Замечание. Аналогичным образом решаются уравнения указанного вида более высокого порядка.

Уравнения, явно не содержащие неизвестной функции :

Пример 29. Найти общее решение уравнения  (см. М-1540, стр. 35)

Решение. Делаем подстановку . Тогда . Получим

, ; ; .

Интегрируя последнее уравнение, найдем ; . Так как ,то ; , откуда  — это и есть общее решение данного уравнения.

Уравнения, явно не содержащие независимую переменную :

Пример 30. Найти общее решение уравнения  (см. М-1540, стр. 36).

Решение. Делая подстановку , , получим , . Интегрируем обе части уравнения: ; ; ; . Так как , то ; ; ; . Интегрируя, найдем:

Итак, общий интеграл данного уравнения .

Линейные уравнения второго порядка

Пример 31. Найти общее решение уравнения  (см. М-1540, стр. 37-38,уравнение(10),табл.3,4).

Решение. Искомое решение будем искать в виде , где  – общее решение уравнения , а у*− частное решение всего уравнения. Составим характеристическое уравнение , . Следовательно, .

Найдем . Так как правая часть уравнения равна , то это случай 4 табл.4 и частное решение было бы , если бы числа  не было среди корней характеристического уравнения. Но, так как число  встречается среди корней характеристического уравнения один раз ( ), то . Найдем , , подставим эти значения в данное уравнение и потребуем, чтобы оно обратилось в тождество

; ,

откуда .

Таким образом,  и общее решение уравнения будет .

Если в начальный момент времени  известны  и , то можно найти частное решение уравнения (10), удовлетворяющее этим условиям, то есть решить так называемую задачу Коши.

Пример 32. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям  (см. М-1540, стр. 39).

Решение. Данное уравнение — это уравнение вида (10), при , , , .

Найдем сначала общее решение данного уравнения .

Для этого решим соответствующее однородное уравнение:

. Следовательно .

Так как числа  нет среди корней характеристического уравнения, то (случай 3, табл.2) частное решение  подбираем в таком же виде, как и правая часть , , . Подставляем эти значения в уравнение .

Следовательно, . Значит,  – общее решение данного уравнения. Для нахождения частного решения, удовлетворяющего заданным начальным условиям, найдем:

. Так как  и , то получаем

Подставляя эти значения в общее решение, найдем частное решение , удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Пример 33. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям:  (см. М-1540, стр. 39–40).

Решение. Данное уравнение — это уравнение вида (10), при , , , .

Решаем уравнение . Составляем характеристическое уравнение .

Следовательно,  – общее решение уравнения без правой части. По виду правой части  находим число  (случай 2, табл. 2). Такого числа среди корней характеристического уравнения нет, поэтому

 или . Сравнивая слагаемые, содержащие и , получим

Поэтому

,  – общее решение данного уравнения. Найдем

Учитывая начальные условия, найдем: , , откуда . Подставляя эти значения в общее решение, получим

 — частное решение исходного уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Физический смысл полученного решения (и предыдущих) в том, что это есть отклонение некоторой динамической системы от положения равновесия в любой момент времени. В частности, при  получим

.