Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно - исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Пример 18. Вычислить интеграл  или доказать его расходимость.
(см. М-1540, стр.23–24).

Решение.

 

Так как оба предела стремятся к бесконечности, то они не существуют и поэтому, несобственный интеграл расходится (рис. 1).

	рис. 1

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Пример 19. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями ,  
(см. М-1540, стр.24–25).

Решение. Первое уравнение определяет на плоскости прямую линию, второе – гиперболу (рис. 2).

 

рис. 2

 

Найдем их точки пересечения

Пример 20. Вычислить площадь области, ограниченной кривой, уравнение которой в полярной системе координат имеет вид ,  
(см. М-1540, стр.26).

Решение.

Для построения кривой составим таблицу значений функции.

 

Таблица 2

	0	15	30	45	60	75	90	105	120	135	150	165	180
	3	2,55	1,5	0	-	-	-	-	-	0	1,5	2,55	3

 

 

Для  значения  будут повторяться в силу периодичности функции . Строим кривую по точкам (нижняя часть кривой симметрично достраивается) (рис. 3).

 

рис. 3

 

Заметим, что построенная фигура состоит из четырех равных частей, поэтому

 (кв.ед.)

 

 

ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Пример 21. Вычислить двойной интеграл двумя способами, изменяя порядок интегрирования: , где D — область, ограниченная линиями , ,  (см. М-1540, стр.52–55).

Решение. Сделаем чертеж (рис. 4)

рис. 4

 

Выбирая внутреннее интегрирование по переменной , а внешнее по , получим:

.

Здесь внешний интеграл берется по переменной . Граничными точками этой переменной будут точки  и , которые и определяют внешние пределы интегрирования. Внутренний интеграл берется по переменной . Пределы интегрирования для него будут являться функциями от , которые определяются из уравнений линий, ограничивающих область D снизу ( ) и сверху ( ). Следовательно,

Изменяя порядок интегрирования, разобьем область D на две части: пусть D₁ — часть, лежащая ниже оси , а D₂ — часть, лежащая выше оси . Тогда

.

 

Совпадение результатов подтверждает правильность вычислений.

.

ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

                                                        

Пример 22. Вычислить криволинейный интеграл , если кривая АВ задана уравнением  и  (см. М-1540, стр. 57–58,формулы(16),(17),(18)).

Решение. Так как кривая задана явным уравнением , где , то вычисляем интеграл по формуле (16). Находим  и

 

Пример 23. Вычислить криволинейный интеграл  от точки М(1,1) до точки N(4,2) вдоль кривой .

Решение. Этот интеграл вычисляем по формуле (17)

 

Пример 24. Вычислить криволинейный интеграл , если кривая АВ задана параметрическими уравнениями: , , .

Решение. Кривая АВ есть часть эллипса с полуосями 3 и 2, находящаяся в первой четверти. Так как кривая АВ задана параметрически, то этот интеграл будем вычислять по формуле (18). Имеем

Замечание. Если в криволинейном интеграле путь интегрирования L разбит на несколько участков, например, на L₁ и L₂, то

= + .

Контрольная работа № 6

Дифференциальные уравнения

7. Найдите общее решение дифференциальных уравнений

7 .1.	a) ; b) ; c) .	7 .2.	a) ; b) ; c) .
7 .3.	a) ; b) ; c) .	7 .4.	a) ; b) ; c) .
7 .5.	a) ; b) ; c) .	7 .6.	a) ; b) ; c) .
7 .7.	a) ; b) ; c) .	7 .8.	a) ; b) ; c) .
7 .9.	a) ; b) ; c) .	7 .10.	a) ; b) ; c) .
7 .11.	a) ; b) ; c) .	7 .12.	a) ; b) ; c) .
7 .13.	a) ; b) ; c) .	7 .14.	a) ; b) ; c)
7 .15.	a) ; b) ; c) .	7 .16.	a) ; b) ; c) .
7 .17.	a) ; b) ; c) .	7 .18.	a) ; b) ; c) .
7 .19.	a) ; b) ; c) .	7 .20.	a) ; b) ; c) .
7 .21.	a) ; b) ; c) .	7 .22.	a) ; b) ; c) .
7 .23.	a) ; b) ; c) .	7 .24.	a) ; b) ; c) .
7 .25.	a) ; b) ; c) .	7 .26.	a) ; b) ; c) .
7 .27.	a) ; b) ; c) .	7 .28.	a) ; b) ; c) .
7 .29.	a) ; b) ; c) .	7 .30.	a) ; b) ; c) .

 

8. Найдите общее решение однородных дифференциальных уравнений.

8 .1	a) ; b) ; c) .	8 .2.	a) ; b) ; c) .
8 .3.	a) ; b) ; c) .	8 .4.	a) ; b) ; c) .
8 .5.	a) ; b) ; c) .	8 .6.	a) ; b) ; c) .
8 .7.	a) ; b) ; c) .	8 .8.	a) ; b) ; c) .
8 .9.	a) ; b) ; c) .	8 .10.	a) ; b) ; c) .
8 .11.	a) ; b) ; c) .	8 .12.	a) ; b) ; c) .
8 .13.	a) ; b) ; c) .	8 .14.	a) ; b) ; c) .
8 .15.	a) ; b) ; c) .	8 .16.	a) ; b) ; c) .
8 .17.	a) ; b) ; c) .	8 .18.	a) ; b) ; c) .
8 .19.	a) ; b) ; c) .	8 .20.	a) ; b) ; c) .
8 .21.	a) ; b) ; c) .	8 .22.	a) ; b) ; c) .
8 .23.	a) ; b) ; c) .	8 .24.	a) ; b) ; c) .
8 .25.	a) ; b) ; c) .	8 .26.	a) ; b) y″−12y′−36y=0; c) .
8 .27.	a) ; b) ; c) .	8 .28.	a) ; b) ; c) .
8 .29.	a) ; b) ; c) .	8 .30.	a) ; b) ; c) .

 

9. Железнодорожная платформа массой m, выведенная из положения равновесия, совершает колебания в вертикальной плоскости под действием вынуждающей силы , где х — время. Найдите зависимость отклонения платформы от положения равновесия  от времени, если сопротивление среды пропорционально скорости, с коэффициентом пропорциональности , а восстанавливающая сила рессоры, стремящаяся вернуть платформу в положение равновесия, пропорциональна величине отклонения, с коэффициентом пропорциональности . Считается, что в момент времени , , .

 

 

Таблица 3

№	m
9.1	1	-2	2
9.2	1	-6	9		1
9.3	1	-1	0		0	0
9.4	1	2	-3		-0,3	1
9.5	1	4	5		1	-1
9.6	1	0	-4		0	0
9.7	1	2	1		0	0
9.8	1	-3	-4		4	0
9.9	1	0	-9		-2	2
9.10	1	5	0		1	0
9.11	1	-2	1		0	0
9.12	1	0	4		0	0
9.13	1	6	-16		1	1
9.14	1	3	0		0	-1
9.15	1	-3	-4		1	1
9.16	1	-6	13		0	0
9.17	1	4	20		0	0
9.18	1	1	0		-2	1
9.19	1	0	-16		0	0
9.20	1	-4	5		0	0
9.21	1	5	-6		1	-1
9.22	1	3	-4		0	0
9.23	1	9	0		0	0
9.24	1	0	1		0	0
9.25	1	7	-8		1	-1
9.26	1	-6	5		2	3
9.27	1	-25	0		3	-1
9.28	1	0	16		0	0
9.29	1	-5	4		0	0
9.30	1	0	4		4	0

 

 

8. Дана система дифференциальных уравнений

С помощью характеристического уравнения найти ее общее решение.

Таблица 4

№	a	b	c	d	№	a	b	c	d
10 .1	-1	5	1	3	10 .2	-2	1	-3	2
10 .3	6	3	-8	-5	10 .4	2	-1	-6	3
10 .5	2	5	1	-2	10 .6	6	-1	3	2
10 .7	-7	5	4	-8	10 .8	-1	2	-3	4
10 .9	-1	1	2	-2	10 .10	-1	-2	3	4
10 .11	-1	-2	1	-4	10 .12	-2	1	4	1
10 .13	3	-2	1	0	10 .14	4	2	4	6
10 .15	-5	-8	-3	-3	10 .1 6	8	-3	2	1
10 .17	-4	2	4	-2	10 .18	3	1	1	3
10 .19	-3	6	2	8	10 .20	2	3	5	4
10 .21	2	1	3	4	10 .22	1	2	3	6
10 .23	1	-1	-4	1	10 .24	5	4	4	5
10 .25	-1	8	1	1	10 .26	1	-2	-4	3
10 .27	-2	-3	-1	0	10 .28	1	-2	-1	0
10 .29	1	-1	-4	4	10 .30	3	-2	2	8

Примеры решения заданий контрольной работы № 6