Наиболее часто встречается на практике и закон занимает центральное место в теории и практике вероятностно-статистических методов. Главная особенность: он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при определенных условиях.
Определение Непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами а и 
, если ее плотность вероятности имеет вид 
(1).
Кривая распределения, которую называют ещё гауссовой или нормальной кривой для разных значений параметров выглядит следующим образом:
Нормальная кривая симметрична относительно прямой 
и имеет максимум в точке 
, равный 
и две точки перегиба 
с ординатой 
.
Основные числовые характеристики совпадают с параметрами распределения:
(3) и 
(4)
В зависимости от параметров а и ,, т.е. от математического ожидания и дисперсии зависит кривая распределения.
1) При постоянном значении дисперсии ( ) при изменении математического ожидания (а) график будет смещаться вдоль оси абсцисс, не меняя при этом формы, так как а определяет положение центра кривой.
2) При постоянном математическом ожидании, но при изменяющемся 
форма графика будет также меняться. При увеличении ордината максимума кривой уменьшается, график делается более плоским, так как площадь под графиком не должна меняться. При уменьшении график вытягивается и прижимается к оси при удалении от центра.
Нормальный закон распределения при значении параметров а=0 и =1 называется стандартным или нормированным.
При нахождении функции распределения по известным формулам сталкиваемся с тем, что интеграл от функции 
является «неберущимся» в элементарных функциях.
Функция распределения для нормального распределения выражается через функцию Лапласа (интеграл Лапласа) 
, уже известной нам по интегральной формуле Муавра-Лапласа:
(2), где 
.
Свойства СВ с нормальным распределением:
1) Вероятность попадания СВ Х в интервал 
равна 
, где 
и 
.
2) Вероятность того, что отклонение СВ Х от математического ожидания а не превысит величину 
(по абсолютной величине), равна 
. (Получается из предыдущего результата применением к интервалу 
.
3) «Правило трех сигм». Если СВ Х распределена по нормальному закону с параметрами а и , , то практически достоверным является тот факт, что ее значения заключены в интервале 
.
«Правило трех сигм» получаем при вычислении по свойства 2) : 
.
Показательное распределение
Определение Непрерывная случайная величина Х имеет показательный закон распределения с параметром 
, если ее плотность вероятности 
имеет вид
(1)
Кривая распределения 
и график функции распределения имеют вид
Получим выражение для функции распределения по формуле 
.
1) При 
.
2) При 
.
По соответствующим формулам получаем выражения для 
и 
:
;. 
Пример Среднее время безотказной работы прибора равно 80 ч. Полагая, что время безотказной работы прибора имеет показательный закон распределения, найти: а) выражение его плотности вероятности и функции распределения; б) вероятность того, что в течение 100 ч прибор не выйдет из строя.
Решение. Х- время безотказной работы прибора, среднее время- 
, тогда по формуле (3) 
и по (1 ) 
; (2) 
.
Искомая вероятность
.
Показательный закон распределения играет большую роль в теории массового обслуживания и теории надежности.
Закон больших чисел
Известно, что нельзя заранее предвидеть, какое из возможных значений примет случайна величина (СВ) в результате опыта., но при некоторых условиях суммарное поведение большого числа СВ утрачивает случайный характер, а это значит, что возможно сформулировать некоторые закономерности в появлении СВ.
Знаний условий, при которых совокупное действие многих случайных причин приводит к предсказуемому результату очень важно для практики. Эти условия описываются теоремами, которые имеют общее название закона больших чисел.
Под законом больших чисел в широком смысле понимается общий принцип: совокупное действие большого числа случайных факторов приводит к результату, почти не зависящему от случая. То есть при большом числе случайных величин их средний результат перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности
2.8.1.Неравенство Маркова (лемма Чебышева)
Теорема Если СВ Х принимает только неотрицательные значения и имеет математическое ожидание 
, то для любого положительного числа А верно неравенство
(НМ 1)- неравенство Маркова.
Неравенство Маркова можно записать и в другой форме. Так как события 
и 
противоположны, то получаем 
(НМ 2 )
Отметим, что (1) и (2) в отличие от ранее рассмотренной интегральной теоремы Муавра – Лапласа дает лишь оценку (весьма грубую) для указанных вероятностей.
Неравенство Маркова применимо к любым неотрицательным СВ.
Пример 1. Отделение банка обслуживает в среднем 100 клиентов в день. Оценить вероятность того, что сегодня в отделение банка будет обслужено: а) не более 200 клиентов; б) более 150 клиентов.
Решение. =100, а) А=200 и 
.
Ответ: вероятность не менее 0,5.
Б) А=150 и 
.
Ответ: вероятность не более 2/3.
Неравенство Чебышева
Одним из фактов, на которые опирается закон больших чисел, является неравенство Чебышева (НЧ), которое получается из неравенства Маркова применением его к СВ 
и так же имеет две эквивалентных формулировки.
Теорема. (Неравенство Чебышева). Для любой СВ, имеющей математическое ожидание 
и дисперсию 
, справедливо неравенство
(НЧ 1) ( 
)
(вероятность того, что отклонение СВ Х от ее математического ожидания по абсолютной величине больше положительного числа 
, не больше ,чем 
)
(НЧ 2)
(вероятность того, что отклонение СВ Х от ее математического ожидания по абсолютной величине не больше положительного числа 
, не меньше ,чем 
).
НЧ имеет для практики ограниченное значение, т.к. дает грубую оценку, хотя устанавливает верхнюю и нижнюю границу вероятности рассматриваемого события.
Пример 2. Вероятность выхода с автомата стандартной детали равна 0,96. Оценить с помощью НЧ вероятность того, что число бракованных среди 2000 деталей находится в границах от 60 до 100 (включительно).
Решение. СВ Х – число бракованных деталей распределена биномиально. По условию вероятность бракованной детали р=1-0,96=0,04. Тогда 
и 
.
Оценка вероятности события
, т.к. 
.
Т.е. по НЧ вероятность того, что число бракованных среди 2000 деталей находится в границах от 60 до 100 (включительно) не менее чем 0,808.
Сравним эту вероятность с той, которую для этого события можно найти по интегральной теореме Муавра- Лапласа
.
Полученное значение по Т Муавра –Лапласа не противоречит оценке, полученной по НЧ. Значение 0,979 более точное, так как оно получено в соответствии с учетом распределения этой СВ Х. Но зато НЧ дает оценку для любой СВ, не обязательно распределенной по биномиальному закону.
Результаты полученные по НМ и НЧ не всегда практически значимы, так как при 
в НМ и при 
получаем очевидные результаты.
Теорема Чебышева
Теорема Чебышева. Если СВ Х1, Х2,…,Х n,… - попарно независимы и их дисперсии равномерно ограничены (не превышают постоянного числа С), то , как бы мало ни было положительное число 
, вероятность неравенства
будет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико.
ИЛИ с использованием предельного перехода
(средняя арифметическая СВ сходится по вероятности к средней арифметической их матожиданий).
Сущность теоремы: хотя отдельные независимые СВ могут принимать значения, далекие от своих математических ожиданий, среднее арифметическое достаточно большого числа СВ с большой вероятностью принимает значения , близкие к определенному постоянному числу (среднее арифметическое математических ожиданий). То есть отдельные СВ могут иметь значительный разброс, а их среднее арифметическое рассеяно мало.
Среднее арифметическое достаточно большого число независимых СВ (дисперсии которых равномерно ограничены) утрачивает характер случайной величины. Причина: отклонения каждой СВ от своих МО могут быть как положительными, так и отрицательными, а в среднем арифметическом они взаимно погашаются.
Из неравенства (*) в формулировке ТЧ получим еще одно удобную оценку.
По условию дисперсии СВ равномерно ограничены. Например, числом С.
Пусть 
- СВ «среднее матожидание». Тогда 
. Для СВ Х применим Н Чебышева 
, где 
.
Замечание НЧ можно записать и так : 
, где 
Пример 3. Сколько надо провести измерений данной величины, чтобы с вероятностью не менее 0,95 гарантировать отклонение средней арифметической этих измерений от истинного значения величины не более чем на 1 (по абсолютной величине) , если среднее квадратическое отклонение каждого измерения не превосходит 5? )(Кремер, с. 234)
Решение. Хi – результат i- того измерения.; а- истинное значение величины.. т.е. при любом измерении M(Xi)=a, 
, с=52=25 . Нужно найти число измерений n, при котором 
. Данное неравенство будет выполняться, если 
. Откуда 
и 
.
Ответ: потребуется не менее 500 измерений.
На ТЧ основан широко применяемый в статистике выборочный метод: по сравнительно небольшой случайной выборке судят обо всей совокупности (генеральной совокупности) исследуемых объектов.
Теорема Бернулли
Теорема Бернулли. Если в каждом из n независимых испытаний вероятность p появления события А постоянна, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности p по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний достаточно велико, т.е. имеет место равенство
.
Замечние. Теорему Бернулли (ТБ) можно записать и так: 
, где 
и q=1- p.
ТБ была доказана ранее ТЧ, но непосредственно из нее следует, так как частоту (частность) события можно представить как среднюю арифметическую независимых альтернативных СВ. Теорема Бернулли объясняет, почему относительная частота при достаточно большом числе испытаний обладает свойством устойчивости.
ТБ позволяет заменить теоретическую неизвестную вероятность частотой наступления события, которая может быть получена из опыта. Теорема Бернулли получила название «закона больших чисел» и положила начало теории вероятностей как науке.
Обобщением ТБ является Теорема Пуассона. Она рассматривает случай, когда в каждом испытании вероятности наступления события могут оказаться различными 
.
.
Вывод. Теоремы, имеющие общее название «закон больших чисел» устанавливают факт приближения большого числа СВ к определенным постоянным. Но этим не ограничиваются закономерности, возникающие в результате суммарного воздействия СВ. При некоторых условиях совокупное действие СВ приводит к нормальному закону распределения. Описанием этих условий посвящены теоремы под общим названием «центральная предельная теорема».
В современных центральных предельных теоремах в качестве предельных распределений рассматриваются распределения, отличные от нормального, обычно это локальные предельные теоремы (распределение Пуассона, Коши распределения, распределение Стьюдента, c2 – распределение и др).
Дата: 2018-12-21, просмотров: 208.
