Как было показано выше, случайная величина полностью определяется своей функцией распределения или законом распределения. В некоторых случаях бывает достаточно проанализировать часть свойств случайной величины, которые фиксируются в специальных числовых характеристиках, знание которых поможет получить информацию о случайной величине.

Математическое ожидание М(Х) дискретной случайной величины X определяется следующим образом: .

Из этого определения следует, что математическое ожидание есть некоторая постоянная величина. Вероятностный смысл математического ожидания состоит в том, что оно приближенно равно (в особенности для большого числа испытаний) среднему арифметическому значению СВ. 

Разность между СВ и ее математическим ожиданием называют отклонением X от M(X)

Свойства математического ожидания:

1. М(С)=С, где С-const;

2. M(CX)=CM(X);

3. M(X Y)=M(X) M(Y), где X,Y–любые случайные величины;

4. M(XY)=M(X)M(Y), если X и Y – независимые случайные величины.

5. M[X- M( X)]=0 (математическое отклонение величины от ее математического ожидания равна 0.)

Дисперсия(рассеяние) D(X) случайной величины X определена следующим выражением: D(X)=M(X-M(X))  и характеризует меру разброса значений СВ вокруг математического ожидания этой СВ.

Чем больше дисперсия, тем более «случайной»  является СВ.

Свойства дисперсии .

Дисперсия D(X) случайной величины X определена следующим выражением: D(X)=M(X-M(X)) .

1. D ( X)= M( X²)-( M( X))² . Данную формулу удобно использовать для вычислений дисперсии.

2. D(C )=0, где C=const;

3. D(CX)= ;

4. D(X Y)=D(X)+D(Y), если X и Y – независимые случайные величины.

Дисперсия обладает неудобным свойством: её размерность равна размерности самой величины. Поэтому для оценки разброса значений Х используют ещё одну характеристику: среднее квадратическое отклонение (стандарт) СВ: .

Среднеквадратичное отклонение имеет ту же размерность, что и сама случайная величина. Основной недостаток стандартного отклонения в том, что оно не обладает свойством аддитивности в отличие от дисперсии. Это означает, что, если для независимых случайных величин X и Y выполнимо свойство 4, то для стандартного отклонения :

.

Числовые характеристики фиксируют свойства случайных величин, так как являются величинами постоянными, неслучайными.

Пример 1. Даны законы распределения двух независимых случайных величин:

Найти математическое ожидание случайной величины:Z = 2 X + 3 Y.

Решение: Из определения математического ожидания:

Используем следующие свойства математического ожидания:

, где a – константа;

, где Х₁, Х₂ – независимые случайные величины.

Тогда в нашем случае:

Вычислим математическое ожидание исходных случайных величин:

На практике, в качестве характеристик, дополняющих математическое ожидание, используют моду и медиану.

Модой Мо(Х) СВ Х называется ее наиболее вероятное значение (для которого вероятность или плотность вероятности достигает максимума.)

Если вероятность или плотность вероятности достигает максимума не в одной точке, то распределение – полимодальное.

Медианой Ме(Х) НСВ Х называется такое ее значение, для которого .

Геометрически прямая х=Ме(Х) проходит через такую точку, которая делит площадь фигуры под кривой распределения на две равные площади.

Квантилем уровня q СВ Х называется такое значение СВ , при котором значение ее функции распределения имеет значение , равное q, т.е. .

Квантиль уровня 0,5 есть медиана, т.е.Me(X)=x_0,5

Выделяют еще нижний x_0,25 и верхний   x_0,75 квантили.

Начальным моментом k-го порядка СВ Х называется математическое ожидание k-той степени этой величины : .

Центральным моментом k-го порядка СВ Х называется математическое ожидание k-той степени отклонения этой величины от ее математического ожидания : .

и т.д.

1) При k=1 первый начальный момент есть матожидание СВ. Характеризует среднее значение СВ или положение распределения СВ на числовой оси.

2) При k=2 второй центральный момент – дисперсия СВ. Степень рассеяния распределения относительно матожидания.

3) Третий центральный момент  - характеризует скошенность распределения. Используется в коэффициенте асимметрии .

4) Четвертый центральный момент  - характеризует крутость распределения. Используется для определения коэффициента эксцесса  .

 2.4. Типы распределения дискретных случайных величин