В некоторых случаях из имеющихся СВ приходится с помощью определенных операций составлять новые величины. Для оценки полученной с помощью математических операций новой случайной величины важно понимать, существует ли связь между используемыми компонентами.

Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не меняется от того, какие значения приняла другая величина.

То, что величина Х принимает то или иное из возможных значений является случайным событием, вероятность которого и указана в ряде распределения.

Обозначение :X=x_i (i=1,2,…,n) ;Y=y_j (j=1,2,…,m).  Вероятности этих событий p(X=x_i )=p_{i .}

Независимость величин X и Y означает независимость событий X=x_i и Y=y_j при любых i=1,2,…,n  и j=1,2,…,m.

Если указанные события X=x_i и Y=y_j   зависимы хотя бы при одном наборе значений x_i и y_j , то величины X и Y являются зависимыми.

Пример 1. а) Зависимыми будут величины число выпавших орлов при серии бросков монеты и число выпавших решек в этой же серии бросков.

б) Независимыми будут число выпавших орлов в разных сериях бросков монет.

в) Зависимыми будут количество осадков  и урожайность сельскохозяйственных культур на определенной местности.

г) Зависимыми будут рост и масса тела человека.

Для того чтобы определить новую величину с помощью других, необходимо указать, как будет получаться ее закон распределения. Для дискретных СВ это означает, что нужно понимать, как образуются значения новой величины, какими будут их вероятности.

 Произведением случайной величины X на постоянную величину C называется случайная величина CX, которая принимает значения Cx_i с тем же вероятностями p_i, что и x_i: p(Cx_i) = p(x_i).

N-ой степенью с лучайной величины X называется случайная величина X^N, которая принимает значения x_i^N  с тем же вероятностями p_i, что и x_i:

Пример 2.  Дан ряд распределения X

А) Построить ряд распределения для 3 X  

Б) Построить ряд распределения для X²  

Так как (-3)² =3²=9, то по теореме сложения вероятностей получаем:

Суммой (разностью, произведением ) случайных величин X и Y называется случайная величина X+Y (X-Y, XY), которая принимает всевозможные значения соответственно: x_i+ y_{i (}x_i- y_{i ,} x_iy_i), где i=1,2,…,n и j=1,2,…,m c вероятностями (вероятности того, что величина X примет значение x_i, а величинаY примет значение y_i) .

Если величины независимы, то по теореме умножения вероятностей для независимых событий p(X=x_i ) и p(Y=y_i ) получаем:

.

Так как при дискретных величинах значения x_i+ y_{i (} x_i - y_{i ,} x_iy_{i )},  могут получаться разными способами (при различных сочетаниях x_i и y_{i ,} то вероятности таких повторяющихся значений находятся сложением полученных вероятностей.

Пример 3. Даны законы распределения независимых величин X и Y.

Найти ряд распределения для XY.

Вспомогательная таблица:

В этой таблице имеются одинаковые значения величины Z = XY, которые появляются при различных комбинациях множителей. Поэтому для составления ряда распределения Z = XY нужно сложить вероятности, соответствующие одному и тому же значению новой случайной величины.

Ряд распределения  Z = XY

 Проверка: 0,02+0,06+0,6+0,24+0,08=1.