Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно - исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Цели занятия: на базе полученных знаний изучить операции над множествами; научиться абстрагировать множества диаграммами Венна и осуществлять операции над ними; изучить понятие «декартово произведение». 

Роль и место лекции

В этой лекции мы рассмотрим некоторые способы получения новых множеств из уже имеющихся. Эти способы обычно называются операциями над множествами. Основные свойства этих операций и связи между ними принято называть алгеброй множеств.

Понимание операций над множествами позволит шире взглянуть на уже известные математические операции и обобщить их, т. е. непосредственно подойти к таким понятиям высшей математики как «оператор», «функционал» и др.

Обратите внимание на последний и такое, казалось бы, глобальное известное математическое понятие, как «декартова плоскость», окажется частным случаем. А понимание универсального множества будет важно при изучении бесконечно малых и бесконечно больших величин. Поэтому отмечаем особую важность первых лекций.  

1. Операции над множествами. Диаграммы Венна

Объединение и пересечение

Определение 1.

Объединением (суммой) двух множеств A и B называется множество (его принято обозначать ), состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств - либо A, либо B

.                    (1)

ПРИМЕР  1.

Рассмотрим множества A = {1, 2, 3, 4}, B = {1,3,5}, C = {5,6}. Тогда согласно введенному определению получаем:

= {1, 2, 3, 4, 5}; = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

15

Объединение множеств в биологии может определить множество {Род}. Например {Дикая кошка} {Камышовая кошка} … = {Род кошек}.

Аналогично определяется объединение (сумма) n 2 множеств A₁,A₂, ..., A_n. Объединением этих множеств называется множество, обозначаемое A₁ A₂ ... A_n, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств.

Достаточно часто для наглядного изображения этих операций над множествами используют так называемые круги Эйлера (диаграммы Венна). Множества при таком подходе изображают кругами, а результат операции закрашивают или заштриховывают. Результат операции объединения двух множеств представлен на рис. 1.

Определение 2 .

Пересечением (произведением) двух множеств A и B называется множество (его принято обозначать ), состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат каждому из множеств A и B

.                     (2)

ПРИМЕР 2.

В рамках введенных в предыдущем примере определений множеств A, B, C мы получаем:

, , .

В биологии пересечение множеств может определять среду обитания или произрастания. Например {Редкие растения} {Растения края} = {Заповедник}.

Так же как мы делали раньше, можно определить пересечение (произведение) конечного числа множеств. На кругах Эйлера пересечение множеств представлено на рис. 2.

16

1. 2. Свойства объединения и пересечения множеств

1. Коммутативности:

; .

Ассоциативности:

; .

Справедливость этих свойств следует из самих определений операций пересечения и объединения множеств, поэтому обычно скобки в таких групповых операциях опускают.