Уравнения Максвелла в комплексной форме

Рассматривается физический смысл уравнений Максвелла. Формулируются уравнения Максвелла для гармонических полей.

Сведем вместе основные уравнения макроскопической электродинамики, с помощью которых можно описать все многообразие свойств электромагнитных явлений. Эти уравнения (см. раздел 1.4¸1.6) могут быть записаны либо в интегральной, либо в дифференциальной форме. Интегральная форма записи уравнений устанавливает связь между величинами в разных точках поля или на разных отрезках (поверхностях). Дифференциальная форма описывает соотношение между величинами вблизи одной и той же точки поля в определенный момент времени. Чаще всего именно это форма записи уравнений Максвелла используется на практике при исследовании электромагнитных полей, изменяющихся от точки к точке.

Уравнение Максвелла:                             

В дифференциальной форме:                        В интегральной форме:

1. rot  =                              1.  =

2. rot  = -            (1.28)         2. = -     (1.29)

3. div  = ρ                                 3.

4. div  = 0                                     4.

Полная система уравнений электродинамики включает в себя: приведенные выше 4-ре уравнения Максвелла и уравнения (их называют материальными уравнениями), которые связывают между собой векторы  и ,  и , и . В случае линейных изотропных сред, материальные уравнения имеют вид (см. ур-я 1.4, 1.6 и 1.7):

,          ,      .     (1.30)

1-ое и 2-ое уравнения Максвелла считаются основными уравнениями электродинамики, 3-е и 4-е – дополнительными, т.к. они вытекают из первых двух.

Сформулируем основные выводы (физический смысл), следующие из уравнений Максвелла:

1. Всякое изменение во времени электрического или магнитного поля приводит к возникновению соответственно вихревого магнитного или вихревого электрического поля. Независимое существование друг от друга переменных электрических и магнитных полей невозможно, они непрерывно переходят одно в другое.

2. Независимое существование электрических и магнитных полей возможно только в случае статических (неподвижных) зарядов и постоянных магнитов.

3. Источниками электрического поля являются заряды и токи, поэтому электрическое поле может быть как потенциальным (заряды), так и вихревым (токи).

4. Источниками магнитного поля являются движущиеся заряды (токи проводимости) или возмущение электрического поля (ток смещения), поэтому магнитное поле всегда имеет вихревой характер.

5. Силовые линии электрического поля могут иметь истоки и стоки, тогда как силовые линии магнитного поля всегда непрерывны, т.е. замыкаются на себя.

Перейдем к представлению уравнений Максвелла в комплексной форме. Необходимость такого представления связана с тем, что на практике очень часто приходится иметь дело с электромагнитными полями, создаваемыми периодически изменяющимися во времени токами и зарядами.

Любая, переменная во времени, величина может быть представлена рядом Фурье в виде суммы дискретных гармонических колебаний:

.                        

В случае же монохроматических (“одноцветных”) гармонических колебаний:

.

Величина ω = 2πf = 2π/Τ – называется круговой частотой гармонических колебаний.

Анализ гармонических колебаний значительно упрощается при введении метода комплексных амплитуд (“символический метод”). В основу этого метода положена формула Эйлера:

          ,

тогда гармоническую скалярную величину, например U(t), можно представить как вещественную часть следующей комплексной величины:

,

где:  - комплексная амплитуда;

 - комплексная скалярная величина.

Рассмотрим теперь представление векторной гармонической величины комплексным вектором.

В общем случае вектор , изменяющийся во времени по гармоническому закону в некоторой точке пространства, записывается в виде:

,                       (1.31)

где: А_mx,, A_my, A_mz – амплитуды отдельных составляющих вектора;

   φ_x, φ_y, φ_z – их фазовые углы;

    , ,  – единичные орты в прямо-угольной системе координат.

По сути (1.31) есть проекция вектора  на оси прямоугольной системы координат (x, y, z), см.рис.1.9.                                               

Представим теперь выражение для вектора (1.31) через комплексный вектор .

, (1.32)

где:  - комплексная амплитуда вектора

   - комплексный вектор

Если комплексный вектор  удовлетворяет некоторому линейному дифференциальному уравнению, то это означает, что данному уравнению удовлетворяет как вещественная так и мнимая часть этого комплексного вектора. Поэтому: если требуется найти решение дифференциального уравнения (а уравнения Максвелла как раз такими и являются) в виде вектора  (см (1.31)), то искать его проще сначала в виде комплексного вектора , а затем уже взять от него вещественную часть.

Применим вышеизложенное для полученных уравнений Максвелла в комплексной форме. Для этого представим векторы , , , и в виде комплексных векторов:

; .  

Тогда, подставив их в дифференциальную форму уравнений Максвелла (1.28) получим:

                                                                        (1.33)

Данные уравнения носят название уравнений Максвелла в комплексной форме. В дальнейшем, при использовании (1.33) индекс m будем опускать.