Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно - исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Образец выполнения задания № 1

Решение систем уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса рассмотрим на примере.     

Задача. Решить систему линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса.

(1)

Решение по формулам Крамера

Имеем неоднородную системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Число уравнений равно числу неизвестных. Вычислим определитель системы , разложив по элементам первой строки:

Замечание. Тот же определитель можно вычислить с помощью добавления дополнительных двух первых столбцов. Определитель равен сумме произведений элементов по главной диагонали и элементов, параллельных главной диагонали минус сумма произведений элементов по побочной диагонали и элементов, параллельных этой диагонали:

 

 

Определитель системы не равен нулю, так что можно применить правило Крамера. Составим вспомогательный определитель , заменив столбец коэффициентов при  столбцом свободных членов:

Вычислим определитель , полученный из определителя системы, заменой столбца коэффициентов при переменной  столбцом свободных членов:

Аналогично вычислим :

По правилу Крамера:  Таким образом,

    Ответ:

 

Решение методом Гаусса

(методом последовательного исключения неизвестных).

Имеем уравнение (1). Запишем без изменения два первых уравнения. Умножим первое уравнение на (–2) и прибавим к третьему уравнению; запишем результат в третьей строке. Этот шаг представится в следующем виде:

Двигаемся от нижнего уравнения к верхнему и находим неизвестные:

 

Замечание. С помощью расширенной матрицы, методом исключения неизвестных, решение данной системы можно представить в виде:

 

 

Подставим неизвестные, двигаемся от нижнего уравнения к верхнему и находим неизвестные:

  

 

Ответ:

 

Решение матричным способом

Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными x, y, z

Обозначим

Если матрица A невырожденная  то она имеет обратную  матрицу.

X – матрица – столбец из неизвестных,

B – матрица – столбец свободных членов

X = , B = ,

то систему можно представить в матричной форме

Умножим обе части слева на обратную матрицу

.

Решим систему.

Решение

                                               

Так как по формулам Крамера вычислен определитель системы и он равен  то матрица A имеет обратную матрицу .

 

 

Ответ: x=3; y=2; z=1.

 

Образец выполнения задания № 2

Дано: , , , .

Найти: a) угол между векторами  и ;

б) площадь грани ;

в) объем пирамиды;

г) уравнение плоскости (А₁А₂А₃)

д) длину высоты, опущенной из вершины  на грань ;

е) длину медианы  к ребру А₃А₄ грани А₁А₃А₄.

Решение: для наглядности построим пирамиду  (необязательно соблюдая масштаб) и отметим на ней используемые векторы (рис. 29).

а) Для вычисления угла  между векторами  и  найдем эти векторы. Для этого из координат конца  вектора  вычтем соответствующие координаты начала A1: . . Аналогично . Вычислим длины векторов: .

 

     Рис. 29

 

 

Скалярное произведение  получим как сумму произведений соответствующих координат: ,  

.

    Ответ: .

б) Площадь грани  будем вычислять исходя из геометрического смысла векторного произведения векторов. Модуль векторного произведения векторов численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах. Площадь треугольника  равна .

Вычислим векторное произведение  разложением определителя по первой строке:

Найдем длину вектора :

Тогда площадь грани  равна .

Ответ:

в) Объем пирамиды численно равен  модуля смешанного произведения векторов, образующих данную пирамиду, например векторов , , .

, .

Ответ:

г) На искомой плоскости (А₁А₂А₃) возьмем произвольную точку Векторы , ,   компланарны. Следовательно, смешанное произведение этих векторов равно нулю ( ) =0..

                                 Рис. 30

 

, , .

 

  

       - уравнение плоскости.

 

д) Для вычисления высоты, опущенной из вершины  на грань , воспользуемся формулой , где  - длина высоты пирамиды. Объем пирамиды равен , площадь основания . Тогда , отсюда .

Замечание. Высоту пирамиды из вершины  на грань , можно определить по формуле расстояния от точки М( ) до плоскости Ax+By+Cz+D=0:

d=

 

d=

Ответ:

е) Вектор  соединяет  с серединой стороны . Найдем . Для этого вычислим полусуммы соответствующих координат векторов , , значит,  Тогда длина медианы

Ответ:

Образец выполнения задания № 3

Задача. Дано уравнение  линии в полярной системе координат. Надо: 1) определить точки, лежащие на линии, давая  значения через промежуток, равный , начиная от  в промежутке ;

2) построить линию, соединив полученные точки с помощью лекала или от руки;

3) найти уравнение этой линии в прямоугольной декартовой системе координат (положительная полуось абсцисс берется совпадающей с полярной осью, полюс – с началом прямоугольной декартовой системы координат; обе системы координат берутся правыми);

4) определить вид кривой.

Решение. 1) Для построения кривой, заданной уравнением , придаем   значения от   до   через промежуток (с шагом)   и заносим полученные значения в таблицу:

 

	0
	2,3 2,4 2,6 2,9 3,5 4,3 5,4 6,5 7 6,5 5,7 4,3 3,5 2,9 2,6 2,4 2,3

 

2)В полярной системе координат соединяем последовательно точки с координатами , получаем кривую (рис. 31).

3) Для получения уравнения линии в прямоугольной системе координат подставим значения полярного радиуса   и угла , связывающие полярную и прямоугольную системы координат.

 

 

 

 

                                      Рис. 31

 

, , .

Тогда .

 - уравнение эллипса с центром в точке  и полуосями

Напомним, что полярный радиус точки может принимать только неотрицательные значения.

Образец выполнения задания № 4

Задача. Дано уравнение прямой  и точка . Требуется найти уравнение плоскости, проходящей через точку А и содержащей прямую .

Решение: Прямая  проходит через точку имеет направляющий вектор . Искомая плоскость проходит через прямую  и точку .

 

                      Рис. 30

 

 

                            Рис. 32

 

На искомой плоскости возьмем произвольную точку . Векторы , ,   компланарны. Следовательно, смешанное произведение этих векторов равно нулю.

,

,

,

 

  

       - уравнение плоскости.

Ответ:

 

Образец выполнения задания № 5

Задача. Используя параллельный перенос осей координат, привести уравнение кривой 2-го порядка к каноническому виду и построить кривую.

Решение: Выделим полный квадрат по переменным x, y в левой части.

Итак,

Разделим обе части на 6, получим

Для построения графика можно воспользоваться системой Mathematica

                                                           Рис. 33

 

Получаем уравнение гиперболы, действительная полуось которой , мнимая полуось , центр гиперболы

Образец выполнения задания № 6

Задача. Найти указанные пределы (не пользуясь правилом Лопиталя).

1)       2)    

3)       4)                

5)               6)

Решение:

1) [Неопределенность . В числителе и знаменателе оставляем члены с наибольшей степенью] =

2)  [Неопределенность ] =

3)  [Неопределенность ] =

4) [Неопределенность . Здесь , значит  – бесконечно малая переменная. Воспользуемся формулой ] =

5)  [Неопределенность ] =  [Воспользуемся эквивалентностью ] =

6)  [Неопределенность . Здесь  = бм. Воспользуемся эквивалентностью ]=

    Задача. Найти пределы функций.

1) .

Так как заданная функция непрерывная (при всех значениях , в том числе и при ), то предел функции в  равен значению функции в этой точке,

т.е. .

Итак, .

    2) .

Функция  в предельной точке  не определена. Она представляет собой отношение двух бесконечно малых функций при  (неопределенность вида ); преобразуем ее, чтобы сократить на множитель, стремящийся к нулю. Разлагаем знаменатель на множители и сокращаем дробь на . Получаем

.

    3) .

    Функция  в предельной точке  не определена. Она представляет собой отношение двух бесконечно малых функций при  (неопределенность вида ). Разлагаем числитель и знаменатель дроби на множители, затем, сокращая дробь на , получаем

.

    4) .

    Функция  при  представляет собой неопределенность вида . В числителе и знаменателе оставляем члены с наивысшей степенью:

 

    5) .

Функция  при  представляет собой неопределенность вида . Рассматривая данную функцию как дробную, со знаменателем, равным единице, избавимся от иррациональности в числителе и затем разделим числитель и знаменатель дроби на . Получаем

       

= [Оставим члены с наибольшей степенью] =

6) .

Здесь х – бесконечно малая переменная, х = бм. Поэтому воспользуемся эквивалентностью . Тогда  

    7) .

    Здесь  поэтому  т.е.  Воспользуемся эквивалентностью  Тогда

    8) .

    Функция  в предельной точке  не определена, она представляет собой отношение двух бесконечно малых функций при  (неопределенность ). Чтобы использовать первый замечательный предел, сделаем замену переменной, положив . Тогда при  будет  и

[Так как  то ] =  

    9)     .

 [Перейдем к натуральному логарифму] =  =[Воспользуемся эквивалентностью ] =

    10) .

    Делением числителя дроби на знаменатель выделим целую часть .

    Таким образом,

[Здесь  т.е.  Воспользуемся эквивалентностью ] =

Образец выполнения задания № 7

Задача. Найти производную  функций.

1)           2)      3)  

4)        5)

Решение:

1)

2)

3)

4) Здесь основание степени и показатель – переменные величины. Перейдем к основанию е: Тогда

          

5) Данное уравнение задает в неявном виде функцию у. Найдем , выполнив цепочку преобразований.

в левой части соберем члены, содержащие

Образец выполнения задания № 8

Задача. Найти  и

1)       2)

Решение:

1)

 или

2) Здесь функции я задана параметрическими уравнениями.

 

Образец выполнения задания № 9

Задача.  Исследовать функцию  и начертить ее график.

Решение: 1. Функция определена и непрерывна на всей оси  за исключением точек  и , в которых она имеет бесконечный разрыв.

2.  Так как  то функция нечетна. Ее график симметричен относительно начала координат.

    Это позволяет ограничиться исследованием графика данной функции только для значений . Остальную часть графика функции мы построим, пользуясь его симметрией.

3. При , т.е. график функции проходит через начало координат.

    4. Вертикальной асимптотой графика функции служит прямая . Найдем односторонние пределы:

Для того чтобы выяснить, имеет ли график функции невертикальные асимптоты, вспомним, что коэффициенты  и  уравнения асимптоты  находятся из соотношений

и .

Применим их к исследуемой функции:

 

Итак,

Далее  Следовательно, .

    Таким образом, заключаем, что график исследуемой функции имеет асимптоту с уравнением  или .

    5. Найдем интервалы возрастания и убывания функции и точки экстремума. Для этого вычисляем первую производную от данной функции:

.

Найдем стационарные точки. Для этого достаточно приравнять к нулю числитель выражения для производной. Решая уравнение , находим , , . Производная может менять знак при прохождении аргумента  через эти точки и точки разрыва функции  и , в которых производная не существует.

    Определим знак производной в интервалах между указанными точками. Так как  и , то знак производной определяется знаком разности .

    При  имеем ; следовательно, функция возрастает на этом интервале.

    При  имеем ; следовательно, функция убывает на этом интервале.

    Отсюда видно, что в точке  функция имеет максимум (переход от возрастания к убыванию).

    Определим ординату точки экстремума .

    6. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба. Для этого вычислим вторую производную . Мы видим, что  только при . Вторая производная может изменять знак в этой точке и в точке разрыва функции . Определим знак второй производной в интервалах между указанными точками.

    При  имеем ; следовательно, график функции вогнут.

    При  имеем ; следовательно, график функции выпуклый. Мы видим, что, проходя через точку , вторая производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно,  - абсцисса точки перегиба. Так как при  то касательная к графику в точке перегиба параллельна оси абсцисс.

    7. Все результаты исследования мы используем для построения графика данной функции (рис.34).

 

 

Рис. 34

 

Образец выполнения задания № 10

Задача. Дана функция . Найдите ее градиент в точке  и производную линии : .

Решение: Градиент функции  в произвольной точке  вычисляется по формуле    (1).

Найдем его.

Найдем эти значения в точке .

Отсюда получаем градиент в точке А по формуле (1).

Производная функции  в точке А по направлению вектора  вычисляется по формуле     (2).

В данной задаче  направлен по касательной к линии  в точке А (это и означает, что мы ищем производную по направлению линии .

    В общем случае, когда  имеет уравнение , координаты касательного вектора  в произвольной точке вычисляются по формуле

(знак  соответствует тому, что в точке А можно нарисовать два противоположно – направленных касательных вектора). В нашей задаче : , поэтому

,

, .

В точке А эти значения получаются такими .

Отсюда .

Давайте укоротим этот вектор в 12 раз; координаты остаются целыми , но дальнейшие вычисления упростятся. По формуле (2) получаем

.

    Если мы хотим найти производную в сторону возрастания координаты х, то должно быть . В нашей задаче это получится, если у  взять знак +, так как тогда ,  Выбрав таким образом верхний знак, получим .

Образец выполнения задания № 11

а) Образец решения

Следующие комплексные числа записать в тригонометрической и показательной формах:                          

Находим модуль и аргумент комплексного числа .

Здесь  Значит,

б) Образец решения

а) Найти  , если

Решение:

б) Найти

Решение:

Запишем число  в тригонометрической форме:

т.е.

=0

По формуле Муавра (2.6) имеем

.

в) Найти:

Решение:

Число  представим в тригонометрической форме:

По формуле (2.7) находим

где получим

,

,

,

.

 

 

                                                       

                         

 

 

                                                                                                                          

 

                                                                                                                                                         Рис. 35

                                                                                                                               

 

14. Задания к контрольной работе №1

Задание № 1

Заданы уравнения трех плоскостей. Требуется найти координаты точек их пересечения: 1)по формулам Крамера, 2) методом Гаусса. 3) матричным методом.

 

1.                                              2.

3.                                               4.

5.                                            6.

7.                                         

8.

9.                                                10.

11.                                            12.

13.                                          14.

15.                                             16.

17.                                             18.

19.                                               20.

21.                                                22.

23.                                               24.

25.                                      

26.

27.                                               

28.

29.                                          30.

Задание №2

Даны координаты вершин пирамиды .Средствами векторной алгебры найти:

Найти: a) угол между векторами  и ;

б) площадь грани ;

в) объем пирамиды;

г) уравнение плоскости (А₁А₂А₃)

д) длину высоты, опущенной из вершины  на грань ;

е) длину медианы  к ребру А₃А₄ грани А₁А₃А₄.

1. А₁(1,3,6); А₂(2,2,1); А₃(-1,0,1); А₄(-4,6,-3)

2. А₁(-4,2,6); А₂(2,-3,0); А₃(-10,5,8); А₄(-5,2,-4).

3. А₁(7,2,4); А₂(7,-1,-2); А₃(3,3,1); А₄(-4,2,1).

4. А₁(2,1,4); А₂(-1,5,-2); А₃(-7,-3,2); А₄(-6,-3,6).

5. А₁(-1,-5,2); А₂(-6,0,-3); А₃(3,6,-3); А₄(-10,6,7).

6. А₁(0,-1,-1); А₂(-2,3,5); А₃(1,-5,-9); А₄(-1,-6,3).

7. А₁(5,2,0); А₂(2,5,0); А₃(1,2,4); А₄(-1,1,1).

8. А₁(2,-1,-2); А₂(1,2,1); А₃(5,0,-6); А₄(-10,9,-7).

9. А₁(-2,0,-4); А₂(-1,7,1); А₃(4,-8,-4); А₄(1,-4,6).

10. А₁(14,4,5); А₂(-5,-3,2); А₃(-2,-6,-3); А₄(-2,2,-1).

11. А₁(1,2,0); А₂(3,0,-3); А₃(5,2,6); А₄(8,4,-9).

12. А₁(2,-1,2); А₂(1,2,-1); А₃(3,2,1); А₄(-4,2,5).

13. А₁(1,1,2); А₂(-1,1,3); А₃(2,-2,4); А₄(-1,0,-2).

14. А₁(2,3,1); А₂(4,1,-2); А₃(6,3,7); А₄(7,5,-3).

15. А₁(1,1,-1); А₂(2,3,1); А₃(3,2,1); А₄(5,9,-8).

16. А₁(1,5,-7); А₂(-3,6,3); А₃(-2,7,3); А₄(-4,8,-12).

17. А₁(-3,4,-7); А₂(1,5,-4); А₃(-5,-2,0); А₄(2,5,4).

18. А₁(4,-1,3); А₂(-2,1,0); А₃(0,-5,1); А₄(3,2,-6).

19. А₁(1,-1,1); А₂(-2,0,3); А₃(2,1,-1); А₄(2,-2,-4).

20. А₁(1,2,0); А₂(1,-1,2); А₃(0,1,-1); А₄(-3,0,1).

21. А₁(1,0,2); А₂(1,2,-1); А₃(2,-2,1); А₄(2,1,0).

22. А₁(1,2,-3); А₂(1,0,1); А₃(-2,-1,6); А₄(0,-5,-4).

23. А₁(3,10,-1); А₂(-2,3,-5); А₃(-6,0,-3); А₄(1,-1,2).

24. А₁(-1,2,4); А₂(-1,-2,-4); А₃(3,0,-1); А₄(7,-3,1).

25. А₁(0,-3,1); А₂(-4,1,2); А₃(2,-1,5); А₄(3,1,-4).

26. А₁(1,3,0); А₂(4,-1,2); А₃(3,0,1); А₄(-4,3,5).

27. А₁(-2,-1,-1); А₂(0,3,2); А₃(3,1,-4); А₄(-4,7,3).

28. А₁(-3,-5,6); А₂(2,1,-4); А₃(0,-3,-1); А₄(-5,2,-8).

29. А₁(2,-4,-3); А₂(5,-6,0); А₃(-1,3,-3); А₄(-10,-8,7).

Задание № 3

Даны уравнения линии в полярной системе координат.

Надо: 1) определить точки, лежащие на линии, придавая  значения через промежуток, равный , начиная от  в промежутке ; 2) построить линию, соединив полученные точки с помощью лекала или от руки; 3) найти уравнение этой линии в прямоугольной декартовой системе координат (положительная полуось абсцисс берется совпадающей с полярной осью, полюс – с началом прямоугольной декартовой системы координат; обе системы координат берутся правыми); 4) определить вид кривой.

       

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

Задание № 4

Заданы уравнения прямой а и координаты точки А. Требуется найти уравнение плоскости, проходящей через точку А и через прямую а: , , где b равно двум последним цифрам в номере зачётной книжки.

Задание № 5

Используя параллельный перенос осей координат, привести уравнение кривой 2-го порядка к каноническому виду и построить кривую.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

Задание № 6

Найти указанные пределы (не пользуясь правилом Лопиталя).

1. а) ;           

б) ;           

в) ;

г) ;                  

д) .

 

2. а) ;                        

б) ;                

в) ;  

г) ;                              

д) .

 

3. а) ;                   

б) ;                    

в) ;

г) ;                      

д) .

 

4. а) ;                        

б) ;              

в) ;  

г) ;                     

д) .

5. а) ;                     

б) ;              

в) ;  

г) ;                              

д) .

 

6. а) ;                    

б) ;                 

в) ;  

г) ;                            

д) .

 

7. а) ;                     

б) ;                 

в) ;  

г) ;                            

д) .

8. а) ;                     

б) ;             

в) ;  

г) ;                      

д) .

 

9. а) ;                       

б) ;                 

в) ;  

г) ;                      

д) .

 

10. а) ;                        

б) ;                

в) ;  

г) ;                             

д) .

11. а) ;                  

б) ;                

в) ;  

г) ;                             

д) .

12. а) ;             

б) ;               

в) ;  

г) ;                             

д) .

 

13. а) ;                  

б) ;                

в) ;  

г) ;                             

д) .

14. а) ;                  

б) ;                

в) ;  

г) ;                             

д) .

15. а) ;                  

б) ;                

в) ;  

г) ;                             

д) .

 

16. а) ;                  

б) ;                

в) ;  

г) ;                            

д) .

17. а) ;                  

б) ;                

в) ;  

г) ;                             

д) .

18. а) ;                  

б) ;                

в) ;  

г) ;                             

д) .

 

19. а) ;                  

б) ;                

в) ;  

г) ;                             

д) .

20. а) ;                  

б) ;                

в) ;  

г) ;                             

д) .

21. а) ;                  

б) ;                

в) ;  

г) ;                             

д) .

 

22. а) ;                  

б) ;                

в) ;  

г) ;                             

д) .

23. а) ;                  

б) ;                

в) ;  

г) ;                             

д) .

24. а) ;                  

б) ;                

в) ;  

г) ;                             

д) .

 

25. а) ;                  

б) ;                

в) ;  

г) ;                             

д) .

26. а) ;              

б) ;   

в) ;  

г) ;                             

д) .

27. а) ;                  

б) ;                

в) ;  

г) ;                             

д) .

28. а) ;              

б) ;         

в) ;

г) ;

д) .

 

                            

 

29. а) ;             

б) ;        

в) ;  

г) ;                             

д) .

 

 

30. а) ;           

б) ;                

в) ;  

г) ;                             

д) .

 

Задание № 7

 

Найти производные  данных функций.

 

1. а)                                

б)                                                      

в)                                          

г)                                                         

д) .

2. а)

б)

в)  

г)                                               

д) .

3. а)                

б)                                               

в)                                                       

г)                                                         

д) .

 

 

4. а)  

б)

в)

г)                                  

д) .

 

5. а)                                                      

б)                                                  

в)                                                              

г)                                                    

д) .

 

6. а)

б)  

в)  

г) ;

д)                                             

7. а)                                                        

б)                                                  

в)                                          

г)                                                      

д) .

8. а)

б)

в)   

г)                                     

д)

9. а)                                                      

б)                                             

в)                                              

г)                                                      

д)

 

10. а)

 б)    

 в)   

 г)                  

д)

 

11. а)                           

б)                                          

в)              

г)                                                           

д)   

12. а)

б)  

в)

г)                                

д)

13. а)                                                     

б)                                                              

в)      

г)                                                   

д)    

14. а)  

б)    

в)

г)                                           

д)

15. а)                                    

б)                                   

в)                           

г)                                                                    

д)

16. а)    

б)   

в)    

г)                                       

д)

17. а)                           

б)                                           

в)                      

г)                                                      

д)

18. а)    

б)      

в)

г)                                     

д)

19. а)                                                  

б)                                           

в)                                          

г)                                              

д) .

20. а)

б)  

в)  

г)                                             

д)

 

21. а)                                                  

б)                                              

в)                       

г)                                                          

д) .

 

22. а)

б)   

в)  

г)                                          

д)

23. а)                                                  

б)                                           

в)                    

г)                                                          

д)  

24. а)

б)

в)

г)                                                  

д)

25. а)                              

б)                                              

в)              

г)                                                                                д)   

26. а)

б)  

в)

г)

д)

27. а)                            

б)                                                  

в)                       

г)                                                    

д)   

28. а)  

б)

в)

г)                                         

д)

 

 

29. а)                                          

б)                                                

в)                  

г) ;                                                     

д) .

 

Задание № 8

30. а) ; 

б) ;                             

в)

г) ;

д) .

Найти  и .

1. а)                                                          

б) , .

 

2. а)

б)

 

3. а)                                                         

б) , .

 

4. а)

б) .

 

5. а)                                                             

б) , .

 

6. а)                                         

б) .

 

7. а)                                                       

б)  

 

8. а)                                        

б)

 

9. а)                                                         

б)  

 

10. а)                                   

б) .

 

11. а)                                           

б) , .

 

12. а)                                             

б)

 

13. а)                                                        

б) , .

 

14. а)                                              

б)

 

15. а)                                                 

б) , .

 

16. а)                                       

б)

17. а)                                                   

б) , .

 18. а)                                          

б)

19. а)                                             

б) , .

20. а)                                                 

б)

21. а)                                                     

б) , .

22. а)                                                  

б)

 

23. а)                                                          

б) , .

 

24. а)                                              

б)

 

25. а)                                   

б) , .

 

26.  а)                                               

б)

27. а)                                           

б) , .

28. а)     

б)

29. а)                                                         

б) , .

 

30. а)                                    

б)

Задание № 9

Требуется исследовать функцию методами дифференциального исчисления и начертить ее график. Для этого рекомендуется:

1. Определить, в каких интервалах функция существует и непрерывна. Найти точки разрыва функции, если они имеются.

2. Выяснить, не является ли функция четной или нечетной, т.е. не симметричен ли ее график относительно оси ординат или начала координат.

3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат и интервалы, в которых функция сохраняет постоянный знак.

4. Определить вертикальные и невертикальные асимптоты графика функции.

5. Найти интервалы возрастания и убывания функции и точки экстремума.

6. Найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба.

7. Наконец, построить график функции, используя все собранные данные (если окажется, что последних недостаточно для того, чтобы составить представление о ходе графика, нужно дополнительно найти несколько лежащих на нем точек).

1.                                                 2.

3.                                                  4.

5.                                                   6.

7.                                                   8.

9.                                               10.

11.                                         12.

13.                                                    14.

15.                                                   16.

17.                                                 18.

19.                                                 

20.

21.                                                   

22.

23.                                             24.

25.                                                   26.

27.                                                   28.

29.                                             30.

Задание № 10

Найти  и производную от функции  в точке  в направлении линии , в сторону возрастания координаты х, сделать чертеж.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

Даны Функции z = x ( x , y ), точка А ( x ₀ , y ₀ ) и вектор . Найти 1) gradz в точке А; 2) производную в точке А по направлению вектора

21.                       A (1; 1)                    = 2  -

22.                   A (1; 1)                    = 3  - 4

23.                     A (1; 1)                    = 3  + 2

24.                    A (1; 1)                    = 2  -

25.                    A (1; 1)                    =  + 2

26.                                 A (1; 1)                     = 4  - 3

27.                      A (1; 1)                    = 5  - 12

28.                    A (1; 1)                    = 2  -

29.                       A (1; 1)                    = 4  - 3

30.                     A (1; 1)                    = 2  +

 

Задание № 11

1. а)

б)   

2. а)

б)                                               

3. а)   

  б)

4.   а)

  б)

5. а)

  б)  

6. а)  

б)

7. а)  

  б)

8. а)  

  б)

9. а)

  б)

10. а)  

          б)

11. а)  

   б)

12. а)

             б)

13. а)  

            б)

14. а)

б)

15. а)

  б)

16. а)

  б)

17. а)  

   б)

18. а)  

б)

19. а)  

б)

20. а)  

б)

21. а)

б)

22. а)  

б)

23. а)

б)

24. а)  

  б)

25. а)  

  б)

26. а)

б)

27. а)  

б)

28. а)  

 

 

б)

29. а)

б)

30. а)  

  б)

    

 

Итоговый тест за 1 семестр

 

№1

1. Алгебраическое дополнение  определителя

равен

1) 50             2) 72             3) -4            4) 40           5) -52              6) -34

2. Если даны матрицы , , , то матрица  равна

1)        2)      3)       4)       5)       6)

3. Векторы , ,  удовлетворяют условию

1)           2)         3)        4)        5)         6)

4. Вектор, перпендикулярный векторам  и  имеет координаты

1)         2)         3)       4)        5)     6)

5. Периметр треугольника с вершинами , ,  равен

1)      2)        3)          4)         5)         6)

6. Угол между векторами  и  равен

1) 0⁰ 2) 90⁰ 3) 45⁰ 4) 60⁰ 5) 30⁰ 6) 180⁰

7. Уравнение прямой, проходящей через точки  и , имеет вид

1)     2)     3)     4)     5)

8. Скалярное произведение  равно , если

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

6) ,

 

      9. Значение  равно

 

1) 0,25

2) 0,5

3) -0,5

4) 0,3

5) 4,5

6) 1

     10. Значение  равно

 

1)

2) 0,5

3) -0,5

4) -е

5) 1

6) 0

 

  11. Значение производной функции  при х = 2 равно

1)

2)

3) 0

4)

5)

6)

 

   12. Точкой минимума функции  является

1) 1,5

2) 4

3)

4)

5) 3,5

6)

 

 

№2

 

1. Алгебраическое дополнение  определителя

равен

2) 50             2) 72             3) -4            4) 40           5) -52              6) -34

2. Если даны матрицы , , , то матрица  равна

2)        2)      3)       4)       5)       6)

3. Векторы , ,  удовлетворяют условию

2)           2)         3)        4)        5)         6)

4. Вектор, перпендикулярный векторам  и  имеет координаты

2)         2)         3)       4)        5)     6)

5. Периметр треугольника с вершинами , ,  равен

2)      2)        3)          4)         5)         6)

6. Угол между векторами  и  равен

2) 0⁰ 2) 90⁰ 3) 45⁰ 4) 60⁰ 5) 30⁰ 6) 180⁰

7. Уравнение прямой, проходящей через точки  и , имеет вид

1)     2)     3)     4)     5)

8. Скалярное произведение  равно , если

,

,

,

,

,

,

 

9. Отметьте номер предела, равного бесконечности

1)

2)

3)

4)

5)

6)

 

    10. Значение  равно

1)    

2) -0,5

3) -12

4) 2

5) 0

6)

 

11. Значение частной производной  функции  в точке (1;-1) равно

 

1) 3

2) -2

3) -1

4) -3

5) 5

6) 0

 

12. Значение частной производной  в точке (1;1) функции  равно

Ответы:

1)

2) 1

3)

4)

5)

6)

 

список литературы

 

1. Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч.2. Учебное пособие для вузов. – 6-е изд. – М.: Издательский дом “ОНИКС 21 век”: Мир и Образование, 2003. – 416 с.

2. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб.пособие. – 22-е изд., перер. – СПб.: Изд-во “Профессия”, 2006. – 432 с.: ил.

3.Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии: Учеб. пособие. – 13-е изд., смер. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. – 240 с.

4. Лурье Л.Н. Основы высшей математики: Учеб. пособие. – М.: Издательско-торг. корпорация “Дашков и Ка”. – 2002. – 520 с.

5. Мышкис А.Д. Математика для технических вузов: Спец. курсы. – СПб.: изд-во “Лань”. – 2009. – 640 с.: ил.

6. Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. – 4-е изд., испр. – М.: Айрис-прес, 2002. – 288 с.

7. Свешников А.А. Теория функций комплексной переменной: Учеб.пособие для втузов. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. – 336 с.