Скалярное произведение векторов

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

СОДЕРЖАНИЕ

	ВВЕДЕНИЕ	6
1	Общие рекомендации студенту-заочнику по работе над курсом математики	7
2	Содержание дисциплины «Математика» I семестр	11
3	Скалярное произведение векторов	13
4	Векторное произведение векторов	16
5	Cмешанное произведение векторов	18
6	Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору	20
7	Уравнение плоскости по трем точкам	21
8	Общее уравнение плоскости	22
9	Кривые второго порядка	23
9.1	Парабола	23
9.2	Эллипс	24
9.3	Гипербола	27
9.4	Касательные к параболе, эллипсу, гиперболе	31
9.5	Оптические свойства конических сечений	33
9.6	Уравнения параболы, эллипса, гиперболы, отнесенные к вершине	35
9.7	Полярные уравнения параболы, эллипса, гиперболы	36
9.8	Парабола, эллипс и гипербола как конические сечения	38
9.9	Кривые второго порядка	40
10	Предел функции	42
11	Дифференцирование функции одной переменной	45
11.1	Понятие производной	45
11.2	Дифференцирование функции одной переменной	46
11.3	Понятие производной	46
11.4	Дифференцирование функций, заданных параметрически	47
11.5	Производные высших порядков	47
11.6	Общая схема исследования функции и построение ее графика	48
12	Комплексные числа, основные понятия	49
12.1	Геометрическое изображение комплексных чисел. Формы записи комплексных чисел	49
12.2	Действия над комплексными числами	51
13	Образцы выполнения заданий контрольной работы	53
14	Задания к контрольной работе № 1	64
15	Итоговый тест за 1 семестр	85
	СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ	91

ВВЕДЕНИЕ

Дисциплина «МАТЕМАТИКА» лежит в основе фундаментальной подготовки, как специалистов, так и бакалавров, независимо от будущей специальности выпускника, и составляет базовую часть образовательной программы математического и естественнонаучного циклов изучаемых дисциплин. Фундаментальная подготовка и, в частности, математическое образование необходимо для успешной профессиональной деятельности, для возможности самостоятельного приобретения знаний в новых областях науки и техники, самостоятельного повышения квалификации, адекватного восприятия окружающей действительности, сбора и обработки новой информации.

Математика является основой для развития логического мышления, для формирования обоснованных суждений по профессиональным, научным и этическим вопросам, для умения научно анализировать проблемы и процессы в профессиональной области, умения ставить задачи и находить способы их решения, а также для грамотной интерпретации полученных результатов.

Математика дает не только универсальную базу для изучения общепрофессиональных и специальных дисциплин, но также надежный аппарат изучения в дальнейшем сложных систем в любой предметной области, дает аппарат для моделирования, анализа и синтеза, прогноза и диагностики функционирования таких систем, создания и эксплуатации новых сложных систем.

Основными целями изучения дисциплины «Математика» являются:

- развитие логического мышления;

- повышение уровня математической культуры;

- овладение современным математическим аппаратом, необходимым для изучения естественнонаучных, общепрофессиональных и специальных дисциплин;

- освоение методов математического моделирования.

1. Общие рекомендации студенту-заочнику по работе над курсом математики

Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельная работа над учебным материалом, которая состоит из следующих элементов: изучение материала по учебникам, решение задач, самопроверка, выполнение контрольных работ. В помощь заочникам институты организуют чтение лекций, практические занятия и лабораторные работы. Кроме того, студент может обращаться к преподавателю с вопросами для получения письменной или устной консультации. Указания студенту по текущей работе даются также в процессе рецензирования контрольных работ. Однако студент должен помнить, что только при систематической и упорной самостоятельной работе помощь университета будет достаточно эффективной. Завершающим этапом изучения отдельных частей курса математики является сдача зачетов и экзаменов в соответствии с учебным планом.

1. Чтение учебника

1.1. Изучая материал по учебнику, следует переходить к следующему вопросу только после правильного понимания предыдущего, выполняя на бумаге все вычисления (в том числе те, которые ради краткости опущены в учебнике) и вычерчивая имеющиеся в учебнике чертежи.

1.2. Особое внимание следует обращать на определения основных понятий. Студент должен подробно разбирать примеры, которые поясняют такие определения, и уметь строить аналогичные примеры самостоятельно.

1.3. Необходимо помнить, что каждая теорема состоит из предположений и утверждения. Все предположения должны обязательно использоваться в доказательстве. Нужно добиваться точного представления о том, в каком месте доказательства использовано каждое предположение теоремы. Полезно составлять схемы доказательств сложных теорем. Правильному пониманию многих теорем помогает разбор примеров математических объектов, обладающих и не обладающих свойствами, указанными в предположениях и утверждениях теорем.

1.4. При изучении материала по учебнику полезно вести конспект, в который рекомендуется выписывать определения, формулировки теорем, формулы, уравнения и т.п. На полях конспекта следует отмечать вопросы, выделенные студентом для получения письменной или устной консультации преподавателя.

1.5. Письменное оформление работы студента имеет исключительно важное значение. Записи в конспекте должны быть сделаны чисто, аккуратно и расположены в определенном порядке. Хорошее внешнее оформление конспекта по изученному материалу не только приучит студента к необходимому в работе порядку, но и позволит ему избежать многочисленных ошибок, которые происходят из-за небрежных, беспорядочных записей.

1.6. Выводы, полученные в виде формул, рекомендуется в конспекте подчеркивать или обводить рамкой, чтобы при повторном чтении конспекта они выделялись и лучше запоминались. Опыт показывает, что многим студентам помогает в работе составление листа, содержащего важнейшие и наиболее часто употребляемые формулы курса. Такой лист не только помогает запомнить формулы, но и может служить постоянным справочником для студента.

2. Решение задач

2.1. Чтение учебника должно сопровождаться решением задач, для чего рекомендуется завести специальную тетрадь.

2.2. При решении задач нужно обосновать каждый этап решения исходя из теоретических положений курса. Если студент видит несколько путей решения, то он должен сравнить их и выбрать из них самый лучший. Полезно до начала вычислений составить краткий план решения.

2.3. Решения задач и примеров следует излагать подробно, вычисления располагать в строгом порядке, отделяя вспомогательные вычисления от основных. Чертежи можно выполнять от руки, но аккуратно и в соответствии с данными условиями. Если чертеж требует особо тщательного выполнения, например, при графической проверке решения, полученного путем вычислений, то следует пользоваться линейкой, транспортиром, лекалом и указывать масштаб.

2.4. Решение каждой задачи должно доводиться до ответа, требуемого условием, и по возможности в общем виде с выводом формулы. Затем в полученную формулу подставляют числовые значения (если таковые даны). В промежуточных вычислениях не следует вводить приближенные значения корней, числа и т.п.

3. Контрольные работы

3.1.В процессе изучения курса математики студент должен выполнить ряд контрольных работ, главная цель которых – оказать студенту помощь в его работе. Рецензии на эти работы позволяют студенту судить о степени усвоения им соответствующего раздела курса; указывают на имеющиеся у него пробелы, желательное направление дальнейшей работы; помогают сформулировать вопросы для постановки их перед преподавателем.

3.2.Не следует приступать к выполнению контрольного задания, не решив достаточного количества задач по материалу, соответствующему этому заданию. Опыт показывает, что чаще всего неумение решить ту или иную задачу контрольного задания объясняется тем, что студент не выполнил это требование.

3.3.Контрольные работы должны выполнять самостоятельно. Несамостоятельно выполненная работа не дает возможности преподавателю-рецензенту указать студенту на недостатки в его работе, усвоении им учебного материала, в результате чего студент не приобретает необходимых знаний и может оказаться не подготовленным к устному зачету и экзамену.

3.4. Прорецензированные контрольные работы вместе со всеми исправлениями и дополнениями, сделанными по требованию рецензента, следует сохранять. Без предъявления прорецензированных контрольных работ студент не допускается к сдаче зачета и экзамена.

2. Содержание дисциплины «Математика» в I семестре

1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Вектор. Линейные операции над векторами. Базисы на плоскости и в пространстве. Декартова система координат. Проекции и координаты вектора. Скалярное и векторное произведение векторов. Условие ортогональности, коллинеарности и компланарности векторов. Смешанное произведение.

Прямая линия на плоскости. Плоскость и прямая в пространстве. Кривые и поверхности второго порядка.

Матрицы и действия над ними. Определители. Их свойства. Обратная, транспонированная и ортогональная матрицы, их свойства. Обратная матрица, решение матричных уравнений. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре.

Системы линейных уравнений. Правило Крамера, метод Гаусса.

2. Теория предела и непрерывность функции

Логические символы и операции. Основные понятия теории множеств. Действительные числа. Комплексные числа. Функция. Классификация функций. Рациональные функции. Теорема Безу. Основная теорема высшей алгебры. Предел функции. Основные теоремы о пределах. Первый замечательный предел. Предел последовательности. Второй замечательный предел. Сравнение бесконечно малых функций.

Непрерывность функции в точке и на отрезке. Точки разрыва и их классификация.

3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Производная, ее геометрический и механический смысл. Таблица производных. Дифференциал и его приложения. Производные и дифференциалы высших порядков. Векторная функция скалярного аргумента. Функции, заданные параметрически и их дифференцирование. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя. Формула Тейлора. Приложение дифференциального исчисления к исследованию функций.

4. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Функция нескольких переменных. Ее предел и непрерывность. Частные производные и полный дифференциал. Дифференцирование сложных и неявных функций нескольких переменных. Экстремумы функций нескольких переменных. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Общее уравнение плоскости

Уравнение первой степени относительно переменных

(2)

будем называть общим уравнением плоскости.

Рассмотрим некоторые частные случаи этого уравнения:

1) . Тогда плоскость проходит через начало координат, так как точка принадлежит этой плоскости при любых значениях и ;

2) . Уравнение плоскости запишется в виде . Так как старшие коэффициенты и являются проекциями нормального к плоскости вектора , то вектор перпендикулярен этой плоскости. Но вектор перпендикулярен и координатной оси . Следовательно, рассматриваемая плоскость параллельна оси ;

3) если , то плоскость параллельна оси (доказать самостоятельно);

4) если , то плоскость проходит через начало координат и параллельна оси . Следовательно, плоскость проходит через ось ;

5) если , то Û совпадает с плоскостью .

Кривые второго порядка

Парабола

Парабола - линия, которая в прямоугольной декартовой системе координат Oxy имеет уравнение (1)

Уравнение (1) иногда называют каноническим уравнением параболы.

Теорема. Парабола представляет собой множество точек, равноудаленных от данной прямой (директрисы параболы) и данной точки (фокуса параболы), не лежащей на директрисе.

· Пусть парабола задана уравнением (1). Имеем:

т.е. точка (x, y) параболы равноудалена от прямой x = - p/2 и точки (p/2, 0), котораяявляется фокусом параболы, поскольку при x = p/2 имеем .

Обратно, рассмотрим прямую x = - p/2 и точку F(p/2, 0). Точка M(x, y) удалена отуказанной прямой на расстояние |x+p/2|, а от точки F — на расстояние .

Условие равенства этих расстояний

после возведения в квадрат и несложных преобразований дает уравнение (1). ►

Рис. 12

Основные термины, связанные с параболой:

(1) ось Ox — ось параболы;

(2) фокальная хорда — отрезок с концами на параболе, проведенный через

фокус перпендикулярно оси;

(3) p — (фокальный) параметр (равен половине длины фокальной хорды);

(4) p/2 — фокусное расстояние

(5) точка F(p/2, 0) — фокус;

(6) прямая x = -p/2 — директриса.

Эллипс

Эллипс — это линия, которая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат Oxy имеет уравнение

Указанная система координат называется канонической, уравнение (2) — каноническим уравнением эллипса.

Основные термины, связанные с эллипсом:

(1) a — большая полуось;

(2) b — малая полуось;

(3) — линейный эксцентриситет;

(4) точки (-c, 0), (c, 0) — фокусы;

(5) 2c — фокусное расстояние;

(6) ε = c/a< 1 — (числовой) эксцентриситет;

(7) прямые x = ± a/ ε— директрисы;

(8) ось OX — большая (фокальная) ось;

(9) ось OY — малая ось;

(10) фокальная хорда — отрезок с концами на эллипсе, проведенный через

фокус перпендикулярно фокальной оси;

(11) p = /a — (фокальный) параметр(равен половине длины фокальной

хорды);

(12) точки (±a, 0), (0,±b) — вершины эллипса;

(13) точка O(0, 0) — центр эллипса.

Рис. 13

Пусть M(x, y) — произвольная точка эллипса. Отрезки , называ-ются фокальными радиусами точки M.

Теорема. Фокальное свойство эллипса: Эллипс является множеством точек, сумма расстояний от которых до фокусов постоянна: + = 2a.

● Рассмотрим эллипс

Фокальные радиусы произвольной точки M(x, y) эллипса равны

Имеем

Поскольку имеем , так что

Аналогично находим

Следовательно,

Обратно, пусть M(x, y) — точка плоскости, для которой сумма + постояннаи равна 2a, т.е. .

Уничтожив радикалы, придем к уравнению

Теорема. Директориальное свойство эллипса: Эллипс является множеством точек, отношение расстояний от которых до фокуса и до соответствующей директрисы постоянно(и равно ε ).

●Расстояния от произвольной точки M(x, y) эллипса до левой и правой директрисы равны

Обратно, если

то

и поэтому

Гипербола

Гипербола — эта линия, которая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат Oxy координат имеет уравнение

Указанная система координат называется канонической, уравнение (3) — каноническим уравнением гиперболы.

Выразим из уравнения гиперболы y:

Имеем:

Таким образом, прямые

являются асимптотами гиперболы.

Рис. 14

Основные термины, связанные с гиперболой:

(1) a — вещественная полуось;

(2) b — мнимая полуось;

(3) — линейный эксцентриситет;

(4) точки (-c, 0), (c, 0) — фокусы;

(5) 2c — фокусное расстояние;

(6) ε = c/a> 1 — (числовой) эксцентриситет;

(7) прямые x = ± a/ ε— директрисы;

(8) ось OX — вещественная (фокальная) ось;

(9) ось OY — мнимая ось;

(10) фокальная хорда — отрезок с концами на гиперболе, проведенный через

фокусперпендикулярно фокальной оси;

(11) p = a — (фокальный) параметр (равен половине длины фокальной

хорды);

(12) точки (± a, 0) — вершины гиперболы;

(13) точка O(0, 0) — центр гиперболы;

(14) прямые ay ± bx = 0 — асимптоты гиперболы.

Рис. 15

Пусть M(x, y) — произвольная точка гиперболы. Отрезки , называются фокальными радиусами точки M.

Теорема. Фокальное свойство гиперболы: Гипербола является геометрическим местом точек, разность расстояний от которых до фокусов по абсолютной величине постоянна: | - | = 2a.

●Рассмотрим гиперболу

Длины фокальных радиусов точки M(x, y) равны

Имеем

Поскольку имеем

Аналогично получаем

Следовательно,

Обратно, пусть M(x, y) — точка плоскости, для которой| - | = 2a., т.е.

Уничтожив радикалы, придем к уравнению

Теорема. Директориальное свойство гиперболы: Гипербола является геометрическим местом точек, отношение расстояний от которых до фокуса и до соответствующей директрисы постоянно (и равно ε ).

Рис. 16

●Расстояния от произвольной точки M(x, y) гиперболы до левой и правой директрис равны

Обратно, если

то

и поэтому

Наряду с гиперболой, заданной каноническим уравнением

часто рассматривают гиперболу , называемую сопряженной по отношению к исходной.

Умножая уравнение сопряженной гиперболы на -1, получим каноническое уравнение, в котором роли координатных осей поменялись:

Рис. 17

Кривые второго порядка

Парабола, эллипс и гипербола задаются уравнениями второй степени. Общий вид многочлена второй степени от двух переменных

Кривые второго порядка — это линии на плоскости, задаваемые уравнениями вида

f(x, y) = 0.

Парабола, эллипс и гипербола — примеры кривых второго порядка.

Теорема. Уравнение кривой второго порядка может быть преобразовано посредством замены координат, состоящей из сдвига начала координат и поворота координатных осей, к одной из следующих девяти канонических форм.

I. Эллиптический тип

I.1. Эллипс

I .2. Точка

I.3. Пустое множество

II. Гиперболический тип

II .1. Гипербола

II.2. Пара пересекающихся прямых

III. Параболический тип

III.1. Парабола

III.2. Пара параллельных прямых

III.3. Пустое множество

III.4. Пара совпадающих прямых

Предел функции

Определение предела. Окрестностью точки X₀ называется любой интервал с центром в точке X₀

Число A называется пределом функции f (x) в точке X₀, если для любого сколь угодно малого числа >0 найдется такое число > 0 (вообще говоря, зависящее от ), что для всех X таких, что < , X X₀, выполняется неравенство .

Операции над пределами функций. Пусть функции f(x) и g(x) определены в некоторой окрестности точки X₀ и кроме того, , . Тогда:

1. Предел суммы (разности) этих функций равен сумме (соответственно, разности) их пределов, т.е.

2. Предел произведения функций равен произведению их пределов, т.е.

3. Предел частного функций равен частному их пределов (при условии B 0), т.е.

Отсюда, в частности, вытекает, что постоянный множитель можно выносить за знак предела функции, т.е.

: .

Предел функции на бесконечности

Пусть функция f(x) определена на бесконечном промежутке (a;+ ).

Число A называется пределом функции f(x) при x , если для любой положительной бесконечно большой последовательности

( т.е. x_n + , n ) последовательность соответствующих значений функции сходится к A.

Обозначение .

Односторонние пределы

Пусть функция f(x) определена в правой полуокрестности точки x₀, т.е. на некотором интервале (x₀,x₀+ ), где >0. Тогда говорят, что число A называется пределом функции f(x) справа в точке x₀ (или правосторонним пределом), если для любой последовательности , сходящейся к x₀ и такой, что все ее члены больше, чем x₀, соответствующая последовательность значений функции сходится к числу A.

Обозначения: или .

Замечательные пределы

Первый замечательный предел

Второй замечательный предел

Часто используются следующие следствия из обоих замечательных пределов:

, ;

, , .

Следствия:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

Непрерывность функции в точке

Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀, если она определена в некоторой окрестности этой точки и

Логарифмическая производная

Если функция задана неявным уравнением F(x,y)=0, т.е. не разрешенным относительно y, то для нахождения производной надо продифференцировать по x обе части этого уравнения, учитывая, что y есть функция от x, и затем разрешить полученное уравнение относительно .

Логарифмическая производная функции f((x)>0) есть производная от логарифма данной функции ln f(x):

Вычисление логарифмической производной называется логарифмическим дифференцированием. Логарифмическое дифференцирование применяется при вычислении производной показательно- степенной функции.

где f(x) и имеют производные в точке x₀ и f(x)>0, а также при нахождении производной произведения и частного нескольких функций.

Производные высших порядков

Производной второго порядка функции y=f(x) называется производная от ее производной, т.е.

Вторая производная обозначается или Если существует производная от второй производной, то ее называют третьей производной и обозначают или :

Производной n- го порядка называют производную от производной (n-1) – порядка. Производную n- го порядка обозначают или

Производная скорости по времени есть скорость изменения скорости, т.е. ускорение

Если функция задана параметрически, то производные … вычисляются по формуле

Задание № 1

Заданы уравнения трех плоскостей. Требуется найти координаты точек их пересечения: 1)по формулам Крамера, 2) методом Гаусса. 3) матричным методом.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.

23. 24.

25.

26.

27.

28.

29. 30.

Задание №2

Даны координаты вершин пирамиды .Средствами векторной алгебры найти:

Найти: a) угол между векторами и ;

б) площадь грани ;

в) объем пирамиды;

г) уравнение плоскости (А₁А₂А₃)

д) длину высоты, опущенной из вершины на грань ;

е) длину медианы к ребру А₃А₄грани А₁А₃А₄.

1. А₁(1,3,6); А₂(2,2,1); А₃(-1,0,1); А₄(-4,6,-3)

2. А₁(-4,2,6); А₂(2,-3,0); А₃(-10,5,8); А₄(-5,2,-4).

3. А₁(7,2,4); А₂(7,-1,-2); А₃(3,3,1); А₄(-4,2,1).

4. А₁(2,1,4); А₂(-1,5,-2); А₃(-7,-3,2); А₄(-6,-3,6).

5. А₁(-1,-5,2); А₂(-6,0,-3); А₃(3,6,-3); А₄(-10,6,7).

6. А₁(0,-1,-1); А₂(-2,3,5); А₃(1,-5,-9); А₄(-1,-6,3).

7. А₁(5,2,0); А₂(2,5,0); А₃(1,2,4); А₄(-1,1,1).

8. А₁(2,-1,-2); А₂(1,2,1); А₃(5,0,-6); А₄(-10,9,-7).

9. А₁(-2,0,-4); А₂(-1,7,1); А₃(4,-8,-4); А₄(1,-4,6).

10. А₁(14,4,5); А₂(-5,-3,2); А₃(-2,-6,-3); А₄(-2,2,-1).

11. А₁(1,2,0); А₂(3,0,-3); А₃(5,2,6); А₄(8,4,-9).

12. А₁(2,-1,2); А₂(1,2,-1); А₃(3,2,1); А₄(-4,2,5).

13. А₁(1,1,2); А₂(-1,1,3); А₃(2,-2,4); А₄(-1,0,-2).

14. А₁(2,3,1); А₂(4,1,-2); А₃(6,3,7); А₄(7,5,-3).

15. А₁(1,1,-1); А₂(2,3,1); А₃(3,2,1); А₄(5,9,-8).

16. А₁(1,5,-7); А₂(-3,6,3); А₃(-2,7,3); А₄(-4,8,-12).

17. А₁(-3,4,-7); А₂(1,5,-4); А₃(-5,-2,0); А₄(2,5,4).

18. А₁(4,-1,3); А₂(-2,1,0); А₃(0,-5,1); А₄(3,2,-6).

19. А₁(1,-1,1); А₂(-2,0,3); А₃(2,1,-1); А₄(2,-2,-4).

20. А₁(1,2,0); А₂(1,-1,2); А₃(0,1,-1); А₄(-3,0,1).

21. А₁(1,0,2); А₂(1,2,-1); А₃(2,-2,1); А₄(2,1,0).

22. А₁(1,2,-3); А₂(1,0,1); А₃(-2,-1,6); А₄(0,-5,-4).

23. А₁(3,10,-1); А₂(-2,3,-5); А₃(-6,0,-3); А₄(1,-1,2).

24. А₁(-1,2,4); А₂(-1,-2,-4); А₃(3,0,-1); А₄(7,-3,1).

25. А₁(0,-3,1); А₂(-4,1,2); А₃(2,-1,5); А₄(3,1,-4).

26. А₁(1,3,0); А₂(4,-1,2); А₃(3,0,1); А₄(-4,3,5).

27. А₁(-2,-1,-1); А₂(0,3,2); А₃(3,1,-4); А₄(-4,7,3).

28. А₁(-3,-5,6); А₂(2,1,-4); А₃(0,-3,-1); А₄(-5,2,-8).

29. А₁(2,-4,-3); А₂(5,-6,0); А₃(-1,3,-3); А₄(-10,-8,7).

Задание № 3

Даны уравнения линии в полярной системе координат.

Надо: 1) определить точки, лежащие на линии, придавая значения через промежуток, равный , начиная от в промежутке ; 2) построить линию, соединив полученные точки с помощью лекала или от руки; 3) найти уравнение этой линии в прямоугольной декартовой системе координат (положительная полуось абсцисс берется совпадающей с полярной осью, полюс – с началом прямоугольной декартовой системы координат; обе системы координат берутся правыми); 4) определить вид кривой.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

Задание № 4

Заданы уравнения прямой а и координаты точки А. Требуется найти уравнение плоскости, проходящей через точку А и через прямую а: , , где b равно двум последним цифрам в номере зачётной книжки.

Задание № 5

Используя параллельный перенос осей координат, привести уравнение кривой 2-го порядка к каноническому виду и построить кривую.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

Задание № 6

Найти указанные пределы (не пользуясь правилом Лопиталя).

1. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

2. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

3. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

4. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

5. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

6. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

7. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

8. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

9. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

10. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

11. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

12. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

13. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

14. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

15. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

16. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

17. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

18. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

19. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

20. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

21. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

22. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

23. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

24. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

25. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

26. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

27. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

28. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

29. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

30. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

Задание № 7

Найти производные данных функций.

1. а)

б)

в)

г)

д) .

2. а)

б)

в)

г)

д) .

3. а)

б)

в)

г)

д) .

4. а)

б)

в)

г)

д) .

5. а)

б)

в)

г)

д) .

6. а)

б)

в)

г) ;

д)

7. а)

б)

в)

г)

д) .

8. а)

б)

в)

г)

д)

9. а)

б)

в)

г)

д)

10. а)

б)

в)

г)

д)

11. а)

б)

в)

г)

д)

12. а)

б)

в)

г)

д)

13. а)

б)

в)

г)

д)

14. а)

б)

в)

г)

д)

15. а)

б)

в)

г)

д)

16. а)

б)

в)

г)

д)

17. а)

б)

в)

г)

д)

18. а)

б)

в)

г)

д)

19. а)

б)

в)

г)

д) .

20. а)

б)

в)

г)

д)

21. а)

б)

в)

г)

д) .

22. а)

б)

в)

г)

д)

23. а)

б)

в)

г)

д)

24. а)

б)

в)

г)

д)

25. а)

б)

в)

г) д)

26. а)

б)

в)

г)

д)

27. а)

б)

в)

г)

д)

28. а)

б)

в)

г)

д)

29. а)

б)

в)

г) ;

д) .

Задание № 8

30. а) ;

б) ;

в)

г) ;

д) .

Найти и .

1. а)

б) , .

2. а)

б)

3. а)

б) , .

4. а)

б) .

5. а)

б) , .

6. а)

б) .

7. а)

б)

8. а)

б)

9. а)

б)

10. а)

б) .

11. а)

б) , .

12. а)

б)

13. а)

б) , .

14. а)

б)

15. а)

б) , .

16. а)

б)

17. а)

б) , .

18. а)

б)

19. а)

б) , .

20. а)

б)

21. а)

б) , .

22. а)

б)

23. а)

б) , .

24. а)

б)

25. а)

б) , .

26. а)

б)

27. а)

б) , .

28. а)

б)

29. а)

б) , .

30. а)

б)

Задание № 9

Требуется исследовать функцию методами дифференциального исчисления и начертить ее график. Для этого рекомендуется:

1. Определить, в каких интервалах функция существует и непрерывна. Найти точки разрыва функции, если они имеются.

2. Выяснить, не является ли функция четной или нечетной, т.е. не симметричен ли ее график относительно оси ординат или начала координат.

3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат и интервалы, в которых функция сохраняет постоянный знак.

4. Определить вертикальные и невертикальные асимптоты графика функции.

5. Найти интервалы возрастания и убывания функции и точки экстремума.

6. Найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба.

7. Наконец, построить график функции, используя все собранные данные (если окажется, что последних недостаточно для того, чтобы составить представление о ходе графика, нужно дополнительно найти несколько лежащих на нем точек).

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19.

20.

21.

22.

23. 24.

25. 26.

27. 28.

29. 30.

Задание № 10

Найти и производную от функции в точке в направлении линии , в сторону возрастания координаты х, сделать чертеж.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

Даны Функции z = x ( x , y ), точка А ( x ₀ , y ₀ ) и вектор . Найти 1) gradz в точке А; 2) производную в точке А по направлению вектора

21. A (1; 1) = 2 -

22. A (1; 1) = 3 - 4

23. A (1; 1) = 3 + 2

24. A (1; 1) = 2 -

25. A (1; 1) = + 2

26. A (1; 1) = 4 - 3

27. A (1; 1) = 5 - 12

28. A (1; 1) = 2 -

29. A (1; 1) = 4 - 3

30. A (1; 1) = 2 +

Задание № 11

1. а)

б)

2. а)

б)

3. а)

б)

4. а)

б)

5. а)

б)

6. а)

б)

7. а)

б)

8. а)

б)

9. а)

б)

10. а)

б)

11. а)

б)

12. а)

б)

13. а)

б)

14. а)

б)

15. а)

б)

16. а)

б)

17. а)

б)

18. а)

б)

19. а)

б)

20. а)

б)

21. а)

б)

22. а)

б)

23. а)

б)

24. а)

б)

25. а)

б)

26. а)

б)

27. а)

б)

28. а)

б)

29. а)

б)

30. а)

б)

Итоговый тест за 1 семестр

№1

1. Алгебраическое дополнение определителя

равен

1) 50 2) 72 3) -4 4) 40 5) -52 6) -34

2. Если даны матрицы , , , то матрица равна

1) 2) 3) 4) 5) 6)

3. Векторы , , удовлетворяют условию

1) 2) 3) 4) 5) 6)

4. Вектор, перпендикулярный векторам и имеет координаты

1) 2) 3) 4) 5) 6)

5. Периметр треугольника с вершинами , , равен

1) 2) 3) 4) 5) 6)

6. Угол между векторами и равен

1) 0⁰ 2) 90⁰ 3) 45⁰ 4) 60⁰ 5) 30⁰ 6) 180⁰

7. Уравнение прямой, проходящей через точки и , имеет вид

1) 2) 3) 4) 5)

8. Скалярное произведение равно , если

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

6) ,

9. Значение равно

1) 0,25

2) 0,5

3) -0,5

4) 0,3

5) 4,5

6) 1

10. Значение равно

2) 0,5

3) -0,5

4) -е

5) 1

6) 0

11. Значение производной функции при х = 2 равно

3) 0

12. Точкой минимума функции является

1) 1,5

2) 4

5) 3,5

№2

1. Алгебраическое дополнение определителя

равен

2) 50 2) 72 3) -4 4) 40 5) -52 6) -34

2. Если даны матрицы , , , то матрица равна

2) 2) 3) 4) 5) 6)

3. Векторы , , удовлетворяют условию

2) 2) 3) 4) 5) 6)

4. Вектор, перпендикулярный векторам и имеет координаты

2) 2) 3) 4) 5) 6)

5. Периметр треугольника с вершинами , , равен

2) 2) 3) 4) 5) 6)

6. Угол между векторами и равен

2) 0⁰ 2) 90⁰ 3) 45⁰ 4) 60⁰ 5) 30⁰ 6) 180⁰

7. Уравнение прямой, проходящей через точки и , имеет вид

1) 2) 3) 4) 5)

8. Скалярное произведение равно , если

9. Отметьте номер предела, равного бесконечности

10. Значение равно

2) -0,5

3) -12

4) 2

5) 0

11. Значение частной производной функции в точке (1;-1) равно

1) 3

2) -2

3) -1

4) -3

5) 5

6) 0

12. Значение частной производной в точке (1;1) функции равно

Ответы:

2) 1

список литературы

1. Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч.2. Учебное пособие для вузов. – 6-е изд. – М.: Издательский дом “ОНИКС 21 век”: Мир и Образование, 2003. – 416 с.

2. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб.пособие. – 22-е изд., перер. – СПб.: Изд-во “Профессия”, 2006. – 432 с.: ил.

3.Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии: Учеб. пособие. – 13-е изд., смер. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. – 240 с.

4. Лурье Л.Н. Основы высшей математики: Учеб. пособие. – М.: Издательско-торг. корпорация “Дашков и Ка”. – 2002. – 520 с.

5. Мышкис А.Д. Математика для технических вузов: Спец. курсы. – СПб.: изд-во “Лань”. – 2009. – 640 с.: ил.

6. Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. – 4-е изд., испр. – М.: Айрис-прес, 2002. – 288 с.

7. Свешников А.А. Теория функций комплексной переменной: Учеб.пособие для втузов. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. – 336 с.

СОДЕРЖАНИЕ

	ВВЕДЕНИЕ	6
1	Общие рекомендации студенту-заочнику по работе над курсом математики	7
2	Содержание дисциплины «Математика» I семестр	11
3	Скалярное произведение векторов	13
4	Векторное произведение векторов	16
5	Cмешанное произведение векторов	18
6	Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору	20
7	Уравнение плоскости по трем точкам	21
8	Общее уравнение плоскости	22
9	Кривые второго порядка	23
9.1	Парабола	23
9.2	Эллипс	24
9.3	Гипербола	27
9.4	Касательные к параболе, эллипсу, гиперболе	31
9.5	Оптические свойства конических сечений	33
9.6	Уравнения параболы, эллипса, гиперболы, отнесенные к вершине	35
9.7	Полярные уравнения параболы, эллипса, гиперболы	36
9.8	Парабола, эллипс и гипербола как конические сечения	38
9.9	Кривые второго порядка	40
10	Предел функции	42
11	Дифференцирование функции одной переменной	45
11.1	Понятие производной	45
11.2	Дифференцирование функции одной переменной	46
11.3	Понятие производной	46
11.4	Дифференцирование функций, заданных параметрически	47
11.5	Производные высших порядков	47
11.6	Общая схема исследования функции и построение ее графика	48
12	Комплексные числа, основные понятия	49
12.1	Геометрическое изображение комплексных чисел. Формы записи комплексных чисел	49
12.2	Действия над комплексными числами	51
13	Образцы выполнения заданий контрольной работы	53
14	Задания к контрольной работе № 1	64
15	Итоговый тест за 1 семестр	85
	СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ	91

ВВЕДЕНИЕ

Основными целями изучения дисциплины «Математика» являются:

- развитие логического мышления;

- повышение уровня математической культуры;

- освоение методов математического моделирования.

1. Общие рекомендации студенту-заочнику по работе над курсом математики

1. Чтение учебника

2. Решение задач

3. Контрольные работы

2. Содержание дисциплины «Математика» в I семестре

1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Прямая линия на плоскости. Плоскость и прямая в пространстве. Кривые и поверхности второго порядка.

Системы линейных уравнений. Правило Крамера, метод Гаусса.

2. Теория предела и непрерывность функции

Непрерывность функции в точке и на отрезке. Точки разрыва и их классификация.

3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

4. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением вектора на вектор называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними.

- обозначение скалярного произведения.

= cos , где - угол между векторами и .

Углом между векторами и называется угол, на который надо повернуть вектор , чтобы его направление совпало с вектором .

Из рис. 1 видно, что = cos , тогда = =

Рис. 1

Скалярное произведение векторов равно произведению длины одного из векторов на проекцию другого вектора на направление первого вектора.

Свойства скалярного произведения векторов

. Скалярное произведение обращается в нуль тогда и только тогда, когда хотя бы один из перемножаемых векторов равен нулю или перемножаемые векторы перпендикулярны.

. Переместительный закон: = .

Доказательство: = cos ( )

= cos ( )

то =

. Сочетательный закон: ( ) = ( ) ) = ( ).

. Распределительный закон: ( + ) = + .

. Даны два вектора своими проекциями (координатами) = x₁ +y₁ +z₁ , = x₂ +y₂ +z₂ , где - базисные единичные вектора в направлении осей Ox, Oy, Oz соответственно (рис. 2). Скалярное произведение векторов, заданных проекциями, равно сумме произведений одноименных проекций

=x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂

Доказательство.

= (x₁ +y₁ +z₁ ) ( x₂ +y₂ +z₂ )= =

= x₁x₂( ) + y₁x₂( )+ z₁x₂( )+ x₁y₂( ) + y₁y₂( ) + z₁y₂ ( )+ x₁z₂( ) + y₁z₂ ( )+ z₁z₂( ).

Рис. 2

Можно вычислить, что

cos 0

cos 90

=0 и т.д.

Тогда получаем =x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂.

. Длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его проекций. = .

Доказательство. = x₁²+y₂²+z₁²;

= cos 0 = =

значит =x₁²+y₁²+z₁², = .

. Расстояние между двумя точками в пространстве.

Даны точки A (x_A_,y_A, z_A), B (x_B, y_B, z_B). Длина вектора равна

= .

Доказательство.

Рис. 3

+ = , значит, = -

= , =

= .

. Даны 2 вектора = и = .

Угол между векторами и равен

cos = .

Доказательство. = cos , cos =

В координатной форме cos = .

4. Векторное произведение векторов

Векторным произведением векторов и называется вектор , длина которого равна площади параллелограмма, построенного на векторах и , который перпендикулярен плоскости этого параллелограмма и направлен так, что если смотреть с конца вектора , то кратчайший поворот от вектора к вектору виден против часовой стрелки.

Рис. 4

- обозначение векторного произведения

Из определения следует, что

= sin ( ).

Свойства векторного произведения

. Векторное произведение обращается в нуль в том и только в том случае, если хотя бы один из перемножаемых векторов равен нулю или перемножаемые вектора коллинеарны.