По заданным уравнениям движения точки М установить вид ее траектории и для момента времени t = t₁ (с) найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.

Необходимые для решения данные приведены в таблице 2.6.

Таблица 2.6

Номер варианта	Уравнения движения		t1, с
	, см	, см
1			½
2			1
3			1
4			2
5			1
6			½
7			1
8			1
9			2
10			1
11			½
12			1
13			1
14			2
15			1
16			½
17			1
18			1
19			1
20			0
21			1
22			¼
23			1
24			1
25			1
26			1
27			1
28			1
29			1
30			1

Пример выполнения задания. Исходные данные:

; ;                                          (2.8)

 (  и  - в см,  и  - в с).

Решение. Уравнение (2.8) можно рассматривать как параметрические уравнения траектории точки. Чтобы получить уравнения траектории в координатной форме, исключим время  из уравнений (2.8)

Получаем , т.е. траекторией точки является парабола, показанная на рисунке 2.10.

Вектор скорости точки

                                              (2.9)

Вектор ускорения

Здесь  и  - орты осей  и ; , , ,  - проекции скорости и ускорения точки на оси координат.

Найдем их, дифференцируя по времени уравнения движения (2.8):

                        (2.10)

По найденным проекциям определяются модуль скорости:

                                             (2.11)

и модуль ускорения точки:

                                             (2.12)

Модуль касательного ускорения точки

,                                               (2.13)

или

;                                            (2.13’)

;                                      (2.13”)

 выражает проекцию ускорения точки на направление ее скорости. Знак «+» при  означает, что движение точки ускоренное, направления  и  совпадают; знак «-», - что движение замедленное.

Модуль нормального ускорения точки

.                                              (2.14)

Если радиус кривизны траектории  в рассматриваемой точке неизвестен, то  можно определить по формуле

.                                             (2.15)

При движении точки в плоскости формула (2.15) примет вид

.                                        (2.15’)

Модуль нормального ускорения можно определить и следующим образом:

                                            (2.16)

После того, как найдено нормальное ускорение по формулам (2.15) или (2.16), радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определяется из выражения

.                                             (2.17)

Результаты вычисления по формулам (2.10)-(2.13), (2.15) и (2.17) для заданного момента времени  с приведены в таблице 2.7

Таблица 2.7

Координаты, см		Скорость, см/с			Ускорение, см/с2					Радиус кривизны, см
2,0	3,0	4,0	16,0	16,5	0	32,0	32,0	31,0	7,8	35,0

Рисунок 2.10

На рисунке 2.10 показано положение точки М в заданный момент вре­мени. Вектор  строим по составляющим  и , причем этот вектор должен по направлению совпадать с касательной к траектории. Вектор  строим по составляющим  и  и затем раскладываем на составляющие  и . Совпадение величин  и  найденный из чертежа, с их значениями, полученными аналитически, служим контролем правильности решения.