Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно - исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

 

 

(1)

 

(2)

(3)

 уравнений

 

 

неизвестных

 

Теорема

Функции , реализующие экстремум формулы (1) при наличии условий (2) удовлетворяют (при соответствующем выборе ) уравнению Эйлера, составленному для функционала (3)

Пример 1:

             

Найти кратчайшее расстояние на поверхности

 

Пример 2:

Механическая система:

U – потенциальное поле

Связи:

 

Изопериметрические задачи

,  

Введем новые переменные

тогда

 

, ,

Неизвестные:

,       2n условий

                       m условий

 

Принцип взаимности

Уравнения Эйлера не изменятся, если умножить на

,

Теперь все    i=0,n входят в  симметрично, поэтому экстремум в исходной задаче и следующей задаче совпадают

                      

,

Пример 1

,

- изопериметрическое условие

 - первый интеграл

, полагая ,

 

Пример 2

 - статический момент относительно ОХ

первый интеграл

,

 ,

,

Геодезические экстремали

 - есть -длина кривой y(x).

Если y(x) – экстремаль, то - геодезическое расстояние

- окружность (геодезическая окружность)

- эллипс, - гипербола

 

Пример:

   

    ;

          

           - -длина

 

Пример:

Найти - окружность в  радиусе R

   

Из предыдущего:

 

- лежит на окружности и на экстремали

Пусть поверхность задана векторным уравнением

Геодезической линией называется линия наименьшей длины соединяющей две точки на поверхности.

Линия на поверхности

  

Её длина

         

Уравнение Эйлера

Пример:

Среди всех кривых на сфере R соединяющих две точки выделить те, которые имеют наименьшую длину.

-долгота -широта

 

 

Объекты управления

 

=

 

Уровень в бане

  

=

     

Преобразования Лапласа

 

Регуляторы

П – пропорц.

ПИ – пропорц-интегр.

ПИД – пропорц-интегр-дифференц.

Вывод.

  

=

Задача: выбрать параметры , , , чтобы обеспечить устойчивость и качество регулирования (переходного процесса).

 

 

Критерий Рауса-Гурвица

            …

необх. и дост.. чтобы все определители имели знаки одинаковые со знаком первого коэффициента k-го уравнения.

 

Частотный критерий

Михайлов

Найквист

Если разомкнутая система является неустойчивой, то для того чтобы замкнутая система была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовые характеристики разомкнутой системы при изменении  от 0 до , охватывали точку в положительном направлении раз, где l число кривых k-го уравнения разомкнутой системы.

Михайлов

Для ого чтобы (замкнутая) система была устойчивой необх. и. дост. чтобы кривая Михайлова (гедограф) при изменении  от 0 до  начинался  на вещественной положительной полуоси обходящей только против часовой стрелки последующие n-квадрантов n-порядок k-го уравнения.

 

 

Постановка задачи оптимального управления

 

 

 

 

 

 

Множество конечных состояний S задается

   

  

 - непрерывны по переменным x и y

 

Примеры объектов управления

    Бак

,

 

    Печь нагревания

,

 

    Управление космическим аппаратом

             

                                  

  

а)

b)

Пример:

;

 ;

;

;

;

;

 

Пример1:

;

 

Пример 2:

 

Доказательство принципа максимума

Сведём задачу к задаче … :

Перепишем задачу:

Найти x_оп – оптимальный, u_оп – оптимальный. Пусть  п – скалярное управление.

Допустим, что x_оп и u_оп найдены. Проварьируем управление на малом промежутке ε, изменив управление до величины u ≠ u_оп ( игольчатая вариация ).

Поставим задачу получить ψ(T), который удовлетворил бы уравнению:

в частности,

Обозначим

Отсюда следует, что Н достигает максимума при оптимальном ,следовательно, надо выбирать  так, чтобы Н достигала максимального значения.

 – произвольно , при n максимальном.

 

Численный метод решения задач оптимального управления.

 

 

Краевая задача

 

Метод стрельбы

.

Задача Коши

Интегрируя (1) и (2) с некоторыми значениями  находят   и определяют , где

Численно используется метод Ньютона:

Или регуляризованный алгоритм:

Z’ – матрица;

   - сумма невязок

α – параметр регуляризации;

 –параметр шага;

T – транспонированная матрица, Е – единичная матрица.

 

Задача о подъеме ракеты зонда

x₁ – высота; х₂ – скорость; х₃ – переменная масса; К – коэффициент, характеризующий силу тяги;

g, c, γ – ускорение свободного падения, коэффициент аэродинамики сопротивления, коэффициент убывания плотности.

; ; ;

– скользящий равен

 

 

Задача о манёвре самолёта

 

               0.05

                          

                     

                   

                       

                  

                                         

;

;

Метод решения:

 

Задача о перелёте с орбиты Земли на орбиту Марса.

 

 

Задача 11.

;

N – мощность ракетной струи;

c – дополнительно установленная скорость отбр. шасси;

;

;

 

.

;

;

;

.

 

 

         

                  

                  

                  

            

 

 

Оптимальное планирование поставок продукции.

Пример:

(1)

(2)

(3)

Решим задачу с помощью принципа max. Составим функцию Понтрягина:

(4)               

Записываем систему дифференциальных уравнений:       

(5)    

 

(6)    

(7)

(8)

Из этого уравнения выразим уравнением через

(9)

Подставим u(ψ) в (5):

(10)

Краевое условие найдем продифференцировав  по (T):

(11)

 

(12)

 

Метод стрельбы для решения краевой задачи.

а) способ интегрирования.

(13)

 

 

(14)

        

(15)

 

(16)

 

Алгоритм. Задаем ψ₀. Произвольно x₀. Вычисляем по формулам (15), (16) x₁,ψ₁  x₂,ψ₂ … x(T), ψ(T).

В силу (12₂):

 или

 

Задача о об оптимальноё поставке продукции

Пример:

(1)

(2) ;   ;

(3) ;  ;

(4)

Формула функции Понтрягина:

(5)

Согласно принципу max ( → max) :

u₁=0 u₂=0

u₁=V_m    u₂=0

u₁=0 u₂=V_m   

Составляем сопряженную систему:

Получим зависимость :

Итак получим и можем вычислить значения функционала .

 

 

Задача об оптимальном управлении отраслью

Пример :

(1)   

(2)    

(3)      

(4)     

(5)

(6)                     

       

;

(7)     

 

(8) из (2)

(9) из (1)

(10) из (8) и (9)

(11) из (7) и (10)

(12) из (11) и (4)

(13) из (11) и (6) =

= =

(14) из (13) и (5)

(15) Пусть q=1, тогда из (14)

(16) из (4) и (6) , т.к.

Предположим, что

(17)

(18)

   

   

     

 

 

Механическая модель экономической задачи.

(1) ;

(2)

(3) из (1) и (2)

   

Обозначим

     совпадает с (15).

 

 

Задача об оптимальном выпуске продукции

Пример:

 (1)

 (2)

 (3)  

 (4) ];

(**)(5)  

(6)

 

Пример 12.

Динамическая модель макроэкономической системы.

Введем следующие обозначения:

а – коэффициент производственного потребления ;

μ – коэффициент амортизации;

n – темп роста трудовых ресурсов;

q – параметр модели;

w_s – природные ресурсы;

u – доля потребления;

k – производственные финансы (основные);

X – валовый продукт;

Y – конечный продукт;

W – производственное потребление;

С – непроизводственное потребление;

I – капиталовложение;

I₁ – амортизация отч?;

I₂ – чистое капиталовложение;

F – производственная функция.

 

(1)                               (1_а)

(2)               (2_а)

(3)

(4)

(5)          (5_а)

(6)

(7)

(8)  из (2_а):

(9) из (1),(1_а):

(10) из (8),(9):

(11) из (7),(10):

(12) из (4),(11):

(13) из (6),(11):

(14) из (5),(13):

 

 

 

[1] Условие  (или ) часто называют усиленным условием Лежандра, а условием Лежандра называют неравенство  (или ).