При больших скоростях сила пропорциональна скорости движения в квадрате.
;
Давление оказываемое средой коллинеарно силе F.
Нормальное давление равно после двукратного проектирования равно.
Тогда дифференциал силы равен
где ds – дифференциал площади в сечении
или подставив p получим дифференциал силы
Функционал есть вся сила действующая на поверхность
Будем считать, что угол мал
Тогда дифференциал и функционал упрощаются
;
Краевые условия при x = 0 и x = l
;
Получаем уравнение Эйлера
;
;
;
;
Отсюда
и 
;
Откуда получаем
;
Используя краевые условия получим
или 
;
Задачи содержащие несколько переменных
Пусть дана вариационная задача вида
с краевыми условиями
Доя получения необходимых условий будем варьировать лишь одну из функций
, j =1,…, n
Оставляя остальные неизменными
И следовательно функция реализующая экстремум должна удовлетворять уравнению Эйлера, а так как это рассуждение применимо для любого номера j то получим систему уравнений Эйлера, каждое из которых есть дифференциальное уравнение 2 го порядка
, ( j=1,…, n) .
Пример 1:
Функционал зависит от двух кривых.
Варьируя сначала y( x) затем z( x) получим два уравнения Эйлера
Пример2:
Найти экстремали функционала
Система имеет вид
,
Из первого находим
,
Дифференцируя два раза получим
,
Подставляя во второе уравнение имеем
.
Линейное дифференциальное уравнение 4 го порядка легко решается и получаем общее решение
Используя граничные условия находим
, следовательно
, 
Пример 3:
Система уравнений Эйлера имеет вид
откуда
Считая, что
Получим общие решения
Задача с производными более высокого порядка
Исследуем функционал вида
С граничными условиями
В граничных точках задана функция и её n-1 производных.
Рассмотрим однопараметрическое семейство функций
Вычислим вариацию раскладывая в ряд Тейлора или дифференцируя по параметру
Интегрируем по частям нужное количество раз
один раз
два раза
три раза
и так далее
n раз
Получим вариацию
;
По основной лемме вариационного исчисления получим дифференциальное уравнение n - го порядка
Которое называется уравнением Эйлера -Пуассона
Пример 1:
Общее решение есть полином третье степени
Дифференцируя
И используя краевые условия получи решение
,
,
,
.
Пример 2:
Пример 3:
Задача об изгибе упругой однородной балки, заделанной на концах в неподвижную среду, имеющей длину 2L. Балка под действием своего веса изгибается и можно показать, что её изгиб определяется экстремалями функционала (достигается минимум потенциальной энергии):
.
Дата: 2018-11-18, просмотров: 273.
