Функционалы, содержащие производные более высшего порядка, чем первый и с подвижными границами

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

- свободные

;

Все свободные, то имеем

…

Пример:

- произвольная

то

Достаточные условия экстремума

: - достататочные условия точки минимума

Некоторые определения

а) ;

б)

в) ; поле не образуется

Поле экстремалей

;

- экстремаль

Пример:

;

Известно… - семейство

Пример: 1) - огибающая

2) - узел

3) - т. заострений

4) - т. заострений

близкие кривые семейства будут пересекаться вблизи Ф

Пример:

Аналитическое условие Якоби

Пусть ; А; ; - решения уравнения Эйлера

;

; - обозначим

Дифференцируем по с

- уравнение Якоби

; (или )

Пример:

Уравнение Якоби

Т.к.

если и функция обращается в нуль и условие Якоби выполнено;

если , то - обращается в нуль в т. и условие Якоби не выполнено

Пример:

условие Якоби выполнено

Функция

Приращение при переходе от С на некоторую близкую допустимую кривую есть

т.к.

явл-ся интегралом от точного дифференциала

;

не зависит от выбора траектории

Достаточное условие

, то и

, то

Достаточные условия экстремума

кривые должны быть экстремалями

экстремаль может быть включена в поле экстремалей

Пример 1:

I= dx y(0)=0 y(a)=b a>0; b>0

= - -3 =( )( )-3 ( )= =( )[ ]=( )[ ( )]=( ) [ ]

Если то ; если - var, то второй сомножитель может принять и <0.

Пример 2:

Пример 2. Исследовать на экстремум функционал

в классе непрерывных функций с непрерывной первой производной.

Экстремалями являются прямые Граничным условиям удовлетворяет прямая которая включается в пучок экстремалей , образующих центральное поле. Функция

Знак функции противоположен знаку последнего множителя . Этот множитель обращается в нуль и может изменить знак лишь при переходе через значение При или , при любом имеем

если же или , то выражение

меняет знак. Если же при этом достаточно мало отличается от , то последнее выражение сохраняет положительный знак при и отрицательный знак при

Следовательно, при или имеем слабый минимум, так как при значениях , близких к ; при или имеем слабый максимум. При имеем сильный максимум, так как при любых значениях . При , на основании замечания на с. 119, нет ни сильного минимума, ни сильного максимума (рис. 3.11).

Даже в приведенных выше весьма простых примерах исследование знака функции было сопряжено с некоторыми затруднениями, и поэтому желательно условие сохранения знака функции заменить более легко проверяемым условием. Предположим, что функция трижды дифференцируема по аргументу . По формуле Тейлора получим

где заключено между и .

Функция после замены функции ее разложением по формуле Тейлора примет вид

Отсюда видно, что функция сохраняет знак, если сохраняет знак При исследовании на слабый экстремум функция должна сохранять знак для значений и в точках, близких к точкам исследуемой экстремали, и для значений , близких к Если в точках экстремали , то в силу непрерывности эта вторая производная сохраняет знак и в точках, близких к кривой , и для значений , близких к значениям на кривой Таким образом, при исследовании на слабый минимум условие может быть заменено условием на экстремали , а при исследовании на слабый максимум условие может быть заменено условием на кривой Условие (или ) носит название условия Лежандра^{^[1]}.

При исследовании на сильный минимум условие может быть заменено требованием в точках , близких к точкам кривой при произвольных значениях . При этом, конечно, предполагается, что разложение по формуле Тейлора

справедливо при любых При исследовании на сильный максимум получим условие , при тех же предположениях относительно области изменения аргументов и разложимости функции по формуле Тейлора.

Пример 1:

Пример 3. Исследовать на экстремум функционал

Уравнение Эйлера имеет вид , его общее решение . Используя граничные условия, получаем и , если , где целое число.

Итак, при экстремум может достигаться лишь на прямой . Если , то пучок экстремалей с центром в точке (0,0) образуют центральное поле. При условие Якоби не выполнено (см с. 109).

Так как подынтегральная функция трижды дифференцируема по при любых и при любых значениях , то на прямой при реализуется сильный минимум. Если учесть замечание на с. 114, то можно утверждать, что при минимум на прямой не достигается.

Пример 4. Исследовать на экстремум функционал

(см. задачу о брахистохроне, с. 40). Экстремалями являются циклоиды

Пусть циклоид с центром в точке (0,0) образует центральное поле, включающее экстремаль

где определено из условия продолжения циклоиды через вторую граничную точку , если (рис. 3.12)

Имеем

при любых . Следовательно, при на циклоиде

реализуется сильный минимум.

Пример 3:

Пример 5. Исследовать на экстремум функционал

Этот пример был решен ранее, но теперь в отношении слабого экстремума исследование можно упростить.

Экстремалями являются прямые линии. Пучок образует центральное поле, включающее экстремаль . На экстремали вторая производная . Следовательно, прямая, реализует слабый минимум. При произвольных вторая производная знака не сохраняет; следовательно, указанные выше достаточные условия для достижения сильного минимума не выполнены. Однако отсюда еще нельзя заключить, что сильный экстремум не достигается.

Пример 4:

Пример 6. Исследовать на экстремум функционал

Первый интеграл уравнения Эйлера имеет вид

или ,

извлекая корень, разделяя переменные и интегрируя, получаем - семейство парабол. Из условия находим . Пучок парабол с центром в точке A(0,1) имеет -дискриминантную кривую (рис.3.13). Через точку проходят две параболы этого пучка. На дуге АВ одной из них лежит точка , сопряженная с точкой А, а на другой же сопряженной точки нет, следовательно, на дуге условие Якоби выполнено и на этой дуге параболы может реализоваться экстремум. В окрестности исследуемой экстремали для произвольных , однако на этом основании нельзя утверждать, что на дуге реализуется сильный минимум, так как функция не может быть

представлена в виде

при произвольных значениях ввиду наличия разрыва функции при . Можно лишь утверждать, что на реализуется слабый минимум, так как для значений , близких к наклону поля на кривой , такое разложение функции по формуле Тейлора имеет место. Для полного исследования этого функционала на экстремум необходимо рассмотреть функцию :

Так как множитель не сохраняет знака при произвольных , то можно утверждать, что сильный минимум на дуге не достигается.

Изложенная теория без значительных изменений переносится и на функционалы вида

Функция принимает вид

где - функции наклона поля, на которое наложены некоторые ограничения (при этих ограничениях поле называется специальным).

Условие Лежандра заменяется следующими условиями:

Достаточные условия слабого минимума как в простейшей задаче, так и в более сложных, можно получить иным методом, основанным на изучении знака второй вариации.

По формуле Тейлора преобразуем приращение функционала в простейшей задаче к следующему виду:

∆v= ,

где R имеет порядок выше второго относительно и . При исседовании на слабый экстремум и достаточно малы, и в этом случае знак приращения определяется знаком члена, стоящего в правой части и содержащего наиболее низкие степени и На экстремали первая вариация

и,следовательно, знак приращения ∆v, вообще говоря, совпадает со знаком второй вариации.

Условие Лежандра в соединении с условием Якоби и являются условиями, а вместе с тем и постоянство знака приращения ∆v в задаче о слабом экстремуме.

Действительно, рассмотрим интеграл

(3.2)

где w(x) – произвольная дифференцируемая функция. Этот интеграл равен нулю:

(так как ∂y ).

Прибавляя интеграл (3.2) ко второй вариации, получим

Выбираем функцию w(x) так, чтобы подынтегральная функция, с точностью до множителя, превратилась в точный квадрат, для чего функция w(x) должна удовлетворять уравнению

При таком выборе функции w вторая вариация принимает вид

и следовательно, знак второй вариации совпадает со знаком .

Однако такое преобразование возможно лишь в предложении, что дифференциальное уравнение

имеет на отрезке ( ) дифференцируемое решение w(x).

Преобразовав это уравнение к номым переменным подставновкой w=- , где u – новая неизвестная функция, получим

( )u- – уравнение Якоби(см. с. 114).

Если существует не обращающееся в нуль при решение этого уравнения, т.е. выполнено условие Якоби, то существует для тех же значений x непрерывное и дифференцируемое решение w(x)=- уравнения

Итак, условие Лежандра и условие Якоби гарантируют сохранение знака второй вариации и, следовательно являются достаточным условием слабого минимума ( >0) или максимума( >0).