Геометрическая интерпретация комплексного числа

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

У ОХ - действительная ось,

bi z =а + bi ОУ – мнимая ось.

0 а х

Пример:

3i у 3+3i

-2+2i 2i

i 1+i

-3 -2 -1 0 1 2 3 X

-i

-3-2i -2i

-3i 2-3i

Геометрический смысл модуля комплексного числа

Z z =а + bi

— расстояние от точки О до точки Z.

0 X

Тригонометрическая форма комплексного числа

У z = r(cos Ψ + i sin Ψ), где r = , т.е.

bi z r =

0 ^Ψ

Итак, для того, чтобы комплексное число, заданное в алгебраической форме, обратить в тригонометрическую форму, необходимо найти его модуль r и аргумент j, пользуясь формулами:

Пример: Дано , записать тригонометрическую форму комплексного числа.

Решение:

Дано - алгебраическая форма.

, , ,

- тригонометрическая форма.

Формулы Муавра

Возведение в целую степень п. Модуль возводится в эту степень, аргумент умножается на п.

(1)

Извлечение корня степени п. Извлекается арифметический корень из модуля, общее значение аргумента делится на п. Корень имеет ровно п различных значений, если

(2)

Формулы (1) и (2 называются формулами Муавра

Вопросы для самопроверки по теме 4 Основы теории комплексных чисел

1. Что называется комплексным числом?

2. Какие интерпретации комплексных чисел вы знаете? Опишите их.

3. Что называется действительной и мнимой частями комплексного числа?

4. Что называется алгебраической и тригонометрической формами комплексного числа?

5. В каком случае два комплексных числа называются сопряженными?

6. По каким правилам производятся арифметические действия над комплексными числами?

7. Запишите формулу Муавра.

Варианты контрольных заданий

Задание 1: Дана система линейных уравнений, доказать ее совместность и решить тремя способами:

1) Методом Гаусса;

2) По формулам Крамера;

3) Средствами матричного исчисления.

Вариант 1 . Вариант 2.

Вариант 3. Вариант 4.

Вариант 5. Вариант 6.

Вариант 7. Вариант 8.

Вариант 9. Вариант 10.

Вариант 11. Вариант 12.

Вариант 13. Вариант 14.

Вариант 15. Вариант 16.

Вариант 17. Вариант 18.

Вариант 19. Вариант 20.

Вариант 21. Вариант 22.

Вариант 23. Вариант 24.

Вариант 25. Вариант 26.

Вариант 27. Вариант 28.

Вариант 29. Вариант 30.

Задание 2: Вычислить пределы функций

Вариант 1:

а) б) в) г)

Вариант 2:

а) б) в) г)

Вариант 3:

а) б) в) г)

Вариант 4:

а) б) в) г)

Вариант 5:

а) б) в) г)

Вариант 6:

а) б) в) г)

Вариант 7:

а) б) в) г)

Вариант 8:

а) б) в) г)

Вариант 9:

а) б) в) г)

Вариант 10:

а) б) в) г)

Вариант 11:

а) б) в) г)

Вариант 12:

а) б) в) г)

Вариант 13:

а) б) в) г)

Вариант 14:

а) б) в) г)

Вариант 15:

а) б) в) г)

Вариант 16:

а) б) в) г)

Вариант 17:

а) б) в) г)

Вариант 18:

а) б) в) г)

Вариант 19:

а) б) в) г)

Вариант 20:

а) б) в) г)

Вариант 21:

а) б) в) г)

Вариант 22:

а) б) в) г)

Вариант 23:

а) б) в) г)

Вариант 24:

а) б) в) г)

Вариант 25:

а) б) в) г)

Вариант 26:

а) б) в) г)

Вариант 27:

а) б) в) г)

Вариант 28:

а) б) в) г)

Вариант 29:

а) б) в) г)

Вариант 30:

а) б) в) г)

Задание 3 . Найти производные функций.

В пункте в) найти вторую производную:

Вариант 1:

а) б) в)

Вариант 2:

а) б) в)

Вариант 3:

а) б) в)

Вариант 4:

а) б) в)

Вариант 5:

а) б) в)

Вариант 6:

а) б) в)

Вариант 7:

а) б) в)

Вариант 8:

а) б) в)

Вариант 9:

а) б) в)

Вариант 10:

а) б) в)

Вариант 11:

а) б) в)

Вариант 12:

а) б) в)

Вариант 13:

а) б) в)

Вариант 14:

а) б) в)

Вариант 15:

а) б) в)

Вариант 16:

а) б) в)

Вариант 17:

а) б) в)

Вариант 18:

а) б) в)

Вариант 19:

а) б) в)

Вариант 20:

а) б) в)

Вариант 21:

а) б) в)

Вариант 22:

а) б) в)

Вариант 23:

а) б) в)

Вариант 24:

а) б) в)

Вариант 25:

а) б) в)

Вариант 26:

а) б) в)

Вариант 27:

а) б) в)

Вариант 28:

а) б) в)

Вариант 29:

а) б) в)

Вариант 30:

а) б) в)

Задание 4: Исследовать функцию и построить график

Вариант 1.	Вариант 2. у=
Вариант 3.	Вариант 4.
Вариант 5.	Вариант 6.
Вариант 7.	Вариант 8.
Вариант 9.	Вариант 10.
Вариант 11.	Вариант 12.
Вариант 13.	Вариант 14.
Вариант 15.	Вариант 16.
Вариант 17.	Вариант 18.
Вариант 19.	Вариант 20.
Вариант 21.	Вариант 22.
Вариант 23.	Вариант 24.
Вариант 25.	Вариант 26.
Вариант 27.	Вариант 28.
Вариант 29.	Вариант 30.

Задание 5: Найти неопределенные интегралы и вычислить определенный интеграл:

Вариант 1:

а) б) в)

Вариант 2:

а) б) в)

Вариант 3:

а) б) в)

Вариант 4:

а) б) в)

Вариант 5:

а) б) в)

Вариант 6:

а) б) в)

Вариант 7:

а) б) в)

Вариант 8:

а) б) в)

Вариант 9:

а) б) в)

Вариант 10:

а) б) в)

Вариант 11:

а) б) в)

Вариант 12:

а) б) в)

Вариант 13:

а) б) в)

Вариант 14:

а) б) в)

Вариант 15:

а) б) в)

Вариант 16:

а) б) в)

Вариант 17:

а) б) в)

Вариант 18:

а) б) в)

Вариант 19:

а) б) в)

Вариант 20:

а) б) в)

Вариант 21:

а) б) в)

Вариант 22:

а) б) в)

Вариант 23:

а) б) в)

Вариант 24:

а) б) в)

Вариант 25:

а) б) в)

Вариант 26:

а) б) в)

Вариант 27:

а) б) в)

Вариант 28:

а) б) в)

Вариант 29:

а) б) в)

Вариант 30:

а) б) в)

Задание 6: Вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями. Сделать чертёж.

Вариант 1. ;	Вариант 2. ;
Вариант 3. ;	Вариант 4. ;
Вариант 5. ;	Вариант 6. ;
Вариант 7. ;	Вариант 8. ;
Вариант 9. ;	Вариант 10. ;
Вариант 11. ;	Вариант 12. ;
Вариант 13. ;	Вариант 14. ;
Вариант 15. ;	Вариант 16. ;
Вариант 17. ; ;	Вариант 18. ;
Вариант 19. ;	Вариант 20. ; ;
Вариант 21. у=х²-8х+16, у=6-х	Вариант 22. у=-х²+8х-11, у=х-1
Вариант 23. у=-х²+6х-7, у=х²-6х+9	Вариант 24. у=-х²+4х-2, у=х²-4х+4
Вариант 25. у=х²-8х+17, у=-х²+10х-19	Вариант 26. ,
Вариант 27. у = -х²+2х+9, у = 3х²-6х+5	Вариант 28. у=2х²+4х-5, у=х-4
Вариант 29. у=(х-2)³, у=4х-8	Вариант 30. у=х²-4х+7, у=3

Задание 7: Дано комплексное число . Требуется: 1) записать его в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения .

Вариант 1.	Вариант 2.
Вариант 3.	Вариант 4.
Вариант 5.	Вариант 6.
Вариант 7.	Вариант 8.
Вариант 9.	Вариант 10.
Вариант 11.	Вариант 12.
Вариант 13.	Вариант 14.
Вариант 15.	Вариант 16.
Вариант 17.	Вариант 18.
Вариант 19.	Вариант 20.
Вариант 21.	Вариант 22.
Вариант 23.	Вариант 24.
Вариант 25.	Вариант 26.
Вариант 27.	Вариант 28.
Вариант 29.	Вариант 30.

Решение типового варианта

Задание 1: Дана система линейных уравнений:

доказать ее совместность и решить тремя способами:

1) Методом Гаусса;

2) По формулам Крамера;

3) Средствами матричного исчисления.

Решение: Теорема Кронекера-Капелли. Система совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы этой системы равен рангу ее расширенной матрицы, т. е. r(A)= r(A₁), где

, .

Расширенная матрица системы имеет вид:

Умножим первую строку на (–3),а вторую на (2); прибавим после этого элементы первой строки к соответствующим элементам второй строки; вычтем из второй строки третью. В полученной матрице первую строку оставляем без изменений.

Разделим элементы третьей строки на (6) и поменяем местами вторую и третью строки:

~ ~

Умножим вторую строку на (–11) и прибавим к соответствующим элементам третьей строки.

Разделим элементы третьей строки на (10).

~ ; ~ .

Найдем определитель матрицы А.

Следовательно, r(A)=3. Ранг расширенной матрицы r(A₁) так же равен 3, т.е.

r(A)= r(A₁)=3 Þ система совместна.

1) Исследуя систему на совместность, расширенную матрицу преобразовали по методу Гаусса.

Метод Гаусса состоит в следующем:

1. Приведение матрицы к треугольному виду, т. е. ниже главной диагонали должны находиться нули (прямой ход).

2. Из последнего уравнения находим х₃ и подставляем его во второе, находим х₂, и зная х₃, х₂ подставляем их в первое уравнение, находим х₁(обратный ход).

Запишем, преобразованную по методу Гаусса, расширенную матрицу

в виде системы трех уравнений:

Þ х₃=1

х₂=х₃Þ х₃=1

2х₁=4+х₂+х₃Þ 2х₁=4+1+1 Þ

Þ 2х₁=6 Þ х₁=3

Ответ: х₁=3 , х₂=1, х₃=1.

2) Решим систему по формулам Крамера: если определитель системы уравнений Δ отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам

; ; .

Вычислим определитель системы Δ:

Т.к. определитель системы отличен от нуля, то согласно правилу Крамера, система имеет единственное решение. Вычислим определители Δ₁, Δ₂, Δ₃. Они получаются из определителя системы Δ заменой соответствующего столбца на столбец свободных коэффициентов.

Находим по формулам неизвестные:

; ;

Ответ: х₁=3 , х₂=1, х₃=1.

3) Решим систему средствами матричного исчисления, т. е. при помощи обратной матрицы.

А ×Х=В Þ Х=А^-1 ×В, где А^-1 – обратная матрица к А,

- столбец свободных членов,

- матрица-столбец неизвестных.

Обратная матрица считается по формуле:

(*)

где D - определитель матрицы А, А _ij – алгебраические дополнения элемента а_ij матрицы А. D = 60 (из предыдущего пункта). Определитель отличен от нуля, следовательно, матрица А обратима, и обратную к ней матрицу можно найти по формуле (*). Найдем алгебраические дополнения для всех элементов матрицы А по формуле:

А _ij =(-1)^i+j M_ij.

Запишем обратную матрицу.

Сделаем проверку по формуле: А^-1 ×А=Е.

А^-1А=

Вывод: так как произведение А^-1 ×А дает единичную матрицу, то обратная матрица А^-1 найдена верно и решение системы определяется по формуле Х=А^-1 ×В.

Ответ: х₁=3 , х₂=1, х₃=1.

Проверка. Подставим полученные значения в систему. Получим:

Т. к. неизвестные х₁ , х₂, х₃обратили каждое уравнение в тождество, то они найдены верно.

Задание 2: Вычислить пределы, не пользуясь правилом Лопиталя

а) ;

Функция не определена при х=5 и поэтому разрывна в этой точке. Числитель и знаменатель в точке х=5 обращается в нуль, налицо неопределенность . Выделим общий множитель (х-5) и сократим на него числитель и знаменатель, считая х¹5, х ® 5.

б) ;

Ни числитель, ни знаменатель этой дроби не имеют конечного предела так как они неограниченно возрастают при неограниченном возрастании х, т. е. имеем дело с неопределенностью . Поделим числитель и знаменатель дроби на х²:

так как , , , при х ® ¥ – величины бесконечно малые.

в) ;

Поскольку числитель и знаменатель обращаются в нуль при х=0, то имеем дело с неопределенностью вида .

Воспользуемся тригонометрической формулой для преобразования знаменателя 2 sin² x=1- cos2 x и получим предел, в котором участвует тригонометрическая функция sinx.

Применив первый замечательный предел , получаем:

так как при х ® 0.

г) .

Предел функции при х ® 0 равен единице, т.е. в данном примере требуется раскрыть неопределенность . Примеры такого вида сводятся ко второму замечательному пределу .

Преобразуем выражение в скобках к виду

Тогда

т. к. , .

Задание 3: Найти производные следующих функций

а) Найти производную функции .

Решение:

Сначала преобразуем данную функцию:

б) Найти производную функции .

Решение:

в) Найти производную функции .

Решение:

г) Найти производную функции .

Решение:

Логарифмируем данную функцию

Дифференцируем

Выражаем

Или

Задание 4: Исследовать функцию и построить график.

Решение.

1. Данная функция не определена при , т. к. в этой точке знаменатель обращается в ноль. Значит

2. , . Следовательно, функция общего вида.

3. Не периодична.

4. Точки пересечения с осью Ох: при , . С осью Оу: ,

. Нашли две точки пересечения графика функции с осями координат: и .

5. Исследуем на непрерывность. Точкой разрыва является . Определим тип разрыва. Для этого найдем односторонние пределы функции в данной точке.

и .

Значит, - точка разрыва второго рода.

6. Из предыдущего пункта следует, что - вертикальная асимптота.

Найдем наклонную асимптоту .

. .

Итак, - наклонная асимптота.

7. Исследуем на возрастание, убывание и экстремум функции. Для этого найдем производную функции.

Найдем точки, в которых производная равна нулю .

и .

Далее отметим данные точки на числовой оси и к ним добавляем точку , в которой не определена.

Находим интервалы, на которых : и

: .

При прохождении точки производная меняет знак с плюса на минус. Следовательно, - точка экстремума функции, а именно максимум.

При прохождении точки производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, так же является точкой экстремума функции, а именно минимумом.

8. Исследуем на вогнутость функции и точки перегиба. Для этого находим производную второго порядка.

Вторая производная в ноль никогда не обращается, поэтому на числовой оси отмечаем только .

: - функция вогнута и : - выпукла. Точек перегиба нет.

Составим таблицу, в которую занесем полученные сведения.

х		-1		2		5
	+	0	-	не сущ.	-	0	+
	-		-	не сущ.	+		+
у				верт. ас.

После того, как собрали все данные, полученные в ходе исследования, изобразим характерное поведение графика данной функции. (См. рис.).

Задание 5: Найти неопределенные интегралы и вычислить определенный интеграл

а) ;

Делая замену , получаем:

б) ;

Выделяем полный квадрат в знаменателе дроби . Получаем х²-16х+65=(х-4)²+4²+65=(х-4)²-16+65=(х-4)²+49.

Тогда получаем табличный интеграл типа: .

в) ;

Применим два раза формулу интегрирования по частям

Получаем

г) .

Разложим знаменатель дроби на множители. Получаем:

х³+5х²+8х+4=(х+1)×(х²+4х+4)=(х+1)×(х+2)² .

Множителю (х+2)²соответствует сумма двух простейших дробей , т. к. кратность корня х=-2 равняется двум. Множителю (х+1) – простейшая дробь .

Итак, подынтегральная функция может быть представлена в виде суммы трех простейших дробей.

Приводим к общему знаменателю и, приравнивая числители двух последних дробей, получаем

х²=А (х+1)+В(х+2)(х+1)+С(х+2)²,

х²=Ах+А+Вх²+3Вх+2В+Сх²+4Сх+4С.

Сгруппируем члены при одинаковых степенях х.

х²=х²(В+С)+х(А+3В)+х⁰(А+2В+4С).

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем

В итоге имеем систему

Решая систему одним из известных методов, получаем А=-4, В=0, С=1.

Итак, разложение рациональной дроби на простейшие, имеет вид

Таким образом,

д)

Задание 6: Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

y = x, y = x², x = 2.

Решение:

Искомая площадь (заштрихована на рисунке) может быть найдена по формуле:

(ед²)

Задание 7:Дано комплексное число z. Требуется:

записать число z в алгебраической и тригонометрической формах;
найти все корни уравнения .

Решение:

1) Комплексное число z в алгебраической форме имеет вид: z=а+ bi;

в тригонометрической форме: z= r( cos j+ i × sin j), где и .

Для тог чтобы записать в алгебраической форме, умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю, т. е. на 1- i.

- алгебраическая форма.

, , ,

- тригонометрическая форма.

2) Þ .

Так как число в тригонометрической форме

Применяя формулу для извлечения корня из комплексного числа:

получаем

Если k=0, то ;

Если k=1, то ;

Если k=2, то .

Следовательно, корни уравнения в алгебраической форме имеет вид

Ответ:

Учебно – методическое обеспечение дисциплины

Перечень рекомендуемые учебных изданий, интернет – ресурсов, дополнительной литературы:

Основные источники:

1. Учебник для студентов образовательных учреждений среднего профессионального образования «Математика» И.Д.Пехлецкий., Москва: Асаdemia, 2002

2. Письменный Д.В Конспект лекций по высшей математике (I часть)М.Рольф.2002

3. Письменный Д.В Конспект лекций по высшей математике (II часть)М.Рольф.2002

Дополнительные источники:

1. Алексеев А.С., Белоновская Л.Н. и др. Дидактические материалы (для 10 классов вечерней общеобразовательной школы) М.Просвещение. 1988

2. Брадис В.М.4-х значные математические таблицы.М.Просвещение .1974

3. Виленкин Н.Я., Мордкович А.Г.Производная и интеграл. М. Просвещение.1993

4. Выгодский М.Я.Справочник по высшей математике .М. Джангар.2001

5. Ганеев Х.Ж.Учителю математики об элементах краеведения. Екатеринбург.1996

6. Гольдич В.А.Алгебра: решение уравнений и неравенств. Санкт-Петербург. Литера.2005

7. Денищева Л.О., Корешкова Т.А. Тематические тесты и зачёты. Алгебра и начала анализа.М. Мнемозина. 2007

8. Денищева Л.О., Кузнецова Л.В. и др. Зачёты в системе дифференцированного обучения.М. Просвещение. 1993 Вариант IМ. Интеллект-центр.2001

9. Звавич Л.И., Поташник А.М. и др.Сборник задач по алгебре и математическому анализу (для 10-11 кл)М.Новая школа.1996

10. Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федерова Н.Е. и др. под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни). 10 кл. – М., 2005.

11. Клеймёнов А.Ф, Шнейдер А.Е. Задачи письменного экзамена по математике за курс старшей и основной школы. ИРРО.1999

12. Колмогорова А.Н. Учебное пособие: Алгебра и начала анализа. М. Просвещение .1982

13. Кочетков Е.С., Кочеткова Е.С. Алгебра и элементарные функции. Часть I М.Просвещение. 1971

14. Кочетков Е.С., Кочеткова Е.С. Алгебра и элементарные функции. Часть II М.Просвещение. 1971

15. Мордкович А.Г., Сухорский А.М.Справочник школьника по математике.10 –11 класс.М.Аквариум. 1989

16. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни). 11 кл. – М., 2006.

17. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни). 10 кл. – М., 2006.

18. Саакян С.М., Гольдман А.М. и др.Задачи по алгебре и началам анализа ,10- 11 класс.М.Просвещение. 1992

19. Черкасов Р.С., Столяр А.А.Методика преподавания математики.М. Просвещение. 1985

20. Фирсов В.В.Планирование обязательных результатов обучения математике.М.Просвещение. 1989

21. Шарыгин И.Ф., голубеев В.И.Факультативный курс по математике (решение задач).М .Просвещение.1991

Интернет-ресурсы:

http://www.youtube.com/watch?v=TxFmRLiSpKo (Геометрический смысл производной)

http://www.youtube.com/watch?v=PbbyP8oEv-g (Лекция 1. Первообразная и неопределенный интеграл)

http://www.youtube.com/watch?v=2N-1jQ_T798&feature=channel (Лекция 5. Интегрирование по частям)

http://www.youtube.com/watch?v=3qGZQW36M8k&feature=channel (Лекция 4. Таблица основных интегралов)

http://www.youtube.com/watch?v=7lezxG4ATcA&feature=channel (Лекция 3. Непосредственное интегрирование)

http://www.youtube.com/watch?v=s-FDv3K1KHU&feature=channel (Лекция 4. Метод подстановки)

http://www.youtube.com/watch?v=dU_FMq_lss0&feature=channel (Лекция 12.Понятие определенного интеграла)

http://www.youtube.com/watch?v=wg_AIYBB0dg&feature=related (Гиперметод умножения)

http://www.youtube.com/watch?v=C_7clQcJP-c (Теория вероятности)

http://www.youtube.com/watch?v=dZPRzB1Nj08 (Лекция 6. Комплексные числа (часть 1))

http://www.youtube.com/watch?v=Cfy0CXpR9Lo (Комплексные числа и фракталы. Часть 1)

http://www.youtube.com/watch?v=uis7Hg2gSNo&feature=related (Теория фракталов)

Дата: 2018-11-18, просмотров: 206.

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89