1. Найти область определения функции .

2. Найти точки пересечения графика функций с осями координат.

3. Исследовать функцию на четность или нечетность.

4. Исследовать функцию на периодичность.

5. Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции.

6. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции.

7. Найти асимптоты функции.

8. По результатам исследования построить график .

Пример: Исследовать функцию и построить ее график:

.

Решение:

1) Функция определена на всей числовой оси, т. е. ее область определения .

2) Найдем точки пересечения с осями координат:

с осью ОХ : решим уравнение

.

с осью ОY:

3) Выясним, не является ли функция четной или нечет

ной:

.

Отсюда следует, что функция является нечетной.

4) Функция непериодична.

5) Найдем промежутки монотонности и точки экстремума функции: .

Критические точки: .

		-1		1
	+	0	-	0	+
		т. max 2		т. min -2

6) Найдем промежутки выпуклости и точки перегиба функции:               

Критические точки: .

		0
	-	0	+
		точка перегиба 0

7) Функция непрерывна, асимптот у нее нет.

8) По результатам исследования построим график функции:

                                          y

                                          2

1                             x

                                         -2

Вопросы для самопроверки теме 2 Дифференциальное исчисление:

1. Дать определение производной функции.

2. Что называется приращением аргумента, приращением функции?

3. Какой механический смысл имеет производная?

4. Сформулировать геометрический смысл производной.

5. Как найти производную суммы или разности?

6. Как найти производную произведения?

7. Как найти производную частного двух функций?

8. Сформулируйте правила нахождения производной сложной функции?

9. Как найти производную второго порядка? производную четвертого порядка.

10. Что такое критические точки функции?

11. Сформулировать достаточные условия возрастания и убывания функции.

12. Какими точками отделяются промежутки возрастания от промежутков убывания функции?

13. Сформулируйте правила нахождения точек экстремума функции.

14. Сформулировать достаточное условие выпуклости функции. Приведите алгоритм нахождения промежутков выпуклости и точек перегиба.

Тема 3. Интегральное исчисление

Неопределенный интеграл. Методы вычисления

Определение 3.1: Функция F( x) называется первообразной для функции f( x), если  или .

Любая непрерывная функция f(x) имеет бесконечное множество первообразных, которые отличаются друг от друга постоянным слагаемым.

Определение 3.2 : Совокупность F(x)+С всех первообразных для функции f(x) называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается:

.

Основные свойства неопределенного интеграла:

1.                                   2. ;

3.                               4. ;

5. ; 6. .