При  вычислении определенного интеграла методом замены переменной (способом подстановки) определенный интеграл  преобразуется с помощью подстановки или  в определенный интеграл относительно новой переменной t. При этом старые пределы интегрирования a и b заменяются соответственно новыми пределами t₁ и t₂, которые находятся из исходной подстановки.

Из первой подстановки новые пределы интегрирования вычисляются непосредственно: .

Из второй подстановки новые пределы интегрирования находятся путем решения уравнений .

Таким образом, имеем

Пример 1: Вычислить определенный интеграл методом замены переменной

Решение: =

.

Пример 2: Вычислить определенный интеграл: .

Решение:

.

Вопросы для самопроверки по теме 3 Интегральное исчисление:

1. В чем заключается смысл действия, обратного дифференцированию?

2. Дать определение первообразной функции

3. Чем отличаются друг от друга любые две первообразные данной функции ?

4. Как проверить, правильно ли найдена первообразная данной функции ?

5. Дать определение неопределенного интеграла.

6. Перечислить свойства неопределенного интеграла

7. Дать определение определенного интеграла.

8. Перечислить свойства определенного интеграла.

9. Запишите формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла.

10. В чем отличия методов замены переменной в определенном и неопределенном интегралах?

Тема 4. Основы теории комплексных чисел

Рассмотрим уравнение вида: х²-4=0. Оно имеет действительные корни 2 и -2. Уравнение х²-4=0 действительных корней не имеет. Возникает необходимость введения новых чисел.

Определение 4.1.. Комплексными числами называют выражения вида а + bi, где а и b- действительные числа, а i - мнимая единица, причем i²=-1.

Алгебраическая форма комплексного числа.

Если , то число называется комплексным числом, заданным в алгебраической форме

(2.3)

Это число имеет действительную часть

и мнимую часть

Так что

- число, сопряженное .

Пример:

   Найти действительную и мнимую части комплексных чисел а)z ₁=6-5i _, б)z₂= i.

Решение: а) 6 - действительная часть, -5 – мнимая часть;

            б) 0 - действительная часть, 1 – мнимая часть.

Сумма комплексных чисел.

Определение 4.2. Суммой двух комплексных чисел а + bi и с + di будем называть комплексное число (а + c) + (b + d)i.

Определение 4.3. Произведением двух комплексных чисел а + bi и с + di будем называть комплексное число (ас - bd) + (ad + bc)i.

Пример:

   Найти сумму и произведение комплексных чисел z ₁=2-5i _, z₂= -7+i.

z ₁ +  z ₂=(2 – 7) + (-5 + 1)i;

z _*z ₂=(-14 +5) +(2 + 35)i=-9 + 37i.

Модуль комплексного числа.

Определение 4.4.. Модулем комплексного числа z =а + bi называется число  и обозначается , т.е. = = .

Пример:

Найти модуль комплексных чисел: а) 2-5i, б) -7+i.

Решение а) ;

            б) .