Непосредственное интегрирование предполагает использование при нахождении неопределенных интегралов таблицы интегралов
Таблица интегралов
 
| 
  
|
Рассмотрим нахождение интегралов непосредственным методом.
Пример 1: Найти неопределенный интеграл:
.
Решение: 
=
= 
.
Пример 2: Найти неопределенный интеграл: 
.
Решение: = 
.
Пример 3: Найти неопределенный интеграл 
Решение: = 
Метод подстановки в неопределенном интеграле
(метод замены переменной)
Этот метод заключается в том, что заменяют переменную х на 
,где 
-непрерывно дифференцируемая функция, полагают 
и получают 
При этом получают искомую функцию, выраженную через переменную t. Для возвращения к переменной х необходимо заменить t значением 
, которое находится из соотношения 
.
Рассмотрим нахождение интегралов методом подстановки.
Пример 1: Найти неопределенный интеграл 
Решение: = 
Пример 2: Найти неопределенный интеграл 
Решение: 
= 
Пример 3: Найти неопределенный интеграл 
Решение: = 
Пример 4: Найти неопределенный интеграл 
Решение: = 
= 
= 
.
Определенный интеграл и его свойства
Пусть функция 
определена на отрезке 
. Разобьем отрезок на n частей точками 
, выберем на каждом элементарном отрезке 
произвольную точку xk и обозначим через 
длину каждого такого отрезка.
Интегральной суммой для функции на отрезке 
называется сумма вида
Определение 3.3 : Определенным интегралом от функции 
на отрезке 
называется предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю:
Для любой функции , непрерывной на отрезке , всегда существует определенный интеграл 
Простейшие свойства определенного интеграла
1) Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых функций:
2) Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла
3) При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:
4) Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю: 
5) Отрезок интегрирования можно разделить на части:
с-точка, лежащая между а и b.
6) Если 
на отрезке , то 
.
Для вычисления определенного интеграла от функции , в том случае , когда можно найти соответствующую первообразную 
, служит формула Ньютона-Лейбница:
=F( b)- F( a)
Рассмотрим нахождение простейших определенных интегралов.
Пример 1: Вычислить определенный интеграл 
.
Решение: = 
Пример 2: Вычислить определенный интеграл: 
.
Решение: 
.
Дата: 2018-11-18, просмотров: 196.
